\underline{4^{\mathrm{a}}} Questão: Encontre a equação da linha de trajetória do ponto material que, no instante inicial, ocupa a posição (x, y, z)=(0,1,1), considerando o campo de velocidades \mathbf{v}=(x+z) \mathbf{i}+(x+z) \mathbf{j}. Calcule a aceleração deste ponto material no instante t=0.

Passo 1

O enunciado pede a linha de trajetória do ponto segundo o campo de velocidades \mathbf{v}=(x+z)\,\mathbf{i}+(x+z)\,\mathbf{j} com condição inicial (x,y,z)(0)=(0,1,1), e também a aceleração desse ponto no instante t=0. Vamos usar as equações de movimento \dot x=v_x,\\ \dot y=v_y,\\ \dot z=v_z
e a definição de aceleração material \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt.

Passo 2

Como não há componente em \mathbf{k}, temos
\frac{dz}{dt}=0
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z(t)=z(0)=1.

Passo 3

As equações para x e y ficam
\frac{dx}{dt}=x+z,\quad \frac{dy}{dt}=x+z.
Como z(t)=1, isto é
\frac{dx}{dt}=x+1,\quad \frac{dy}{dt}=x+1.

Passo 4

Resolvendo \frac{dx}{dt}=x+1, trata-se de ODE linear com solução geral
x(t)=C\,e^t-1.
Como x(0)=0, segue C=1 e
x(t)=e^t-1.
Então
y(t)=x(t)+1=e^t.

Passo 5

Para obter a linha de trajetória em espaço, eliminamos t: de y(t)=x(t)+1 obtemos
y = x + 1, \quad z = 1.

Passo 6

A aceleração material é
\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =\Bigl(\frac{d}{dt}(x+z),\,\frac{d}{dt}(x+z),\,0\Bigr) =(x+z,\,x+z,\,0).
Em t=0 temos x(0)=0 e z=1, portanto
\mathbf{a}(0)=(1,\,1,\,0).

Resposta

A linha de trajetória é dada por
y = x + 1, \quad z = 1,
e a aceleração no instante t=0 é
\mathbf{a}(0)=(1,\,1,\,0).

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