3a { }^{\text {a }} Questão: (\mathbf{2}, \mathbf{5}) Um condutor retilineo percorrido por uma corrente de 5 A se divide em dois fios condutores em forma de arcos semicirculares iguais, de raio 10 cm , que se unem novamente no ponto oposto da circunferência. Todos os fios estão no mesmo plano. Utilizando a lei de Biot-Savart, calcule o campo no centro da circunferência.

Passo 1

Resumindo o enunciado: um fio condutor transporta corrente I=5\\ \mathrm{A}. Em um ponto a corrente se divide em dois arcos semicirculares idênticos de raio R=0,10\\ \mathrm{m}, que se reconectam no ponto oposto. Todos os trechos estão no mesmo plano. Queremos calcular o campo magnético no centro da circunferência.

Passo 2

Em uma bifurcação simétrica a corrente divide-se igualmente, portanto cada arco semicircular conduz a corrente
I_1=I_2=\frac{I}{2}=2,5\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Segundo a lei de Biot–Savart, o módulo do campo magnético no centro de um arco de raio R e abertura angular \varphi é
B=\frac{\mu_0\,I\,\varphi}{4\pi\,R}\,.
Para um semicirculo temos \varphi=\pi, resultando em
B_{\text{semicírculo}}=\frac{\mu_0\,I_{\mathrm{ramo}}}{4\,R}\,.í

Passo 4

Cada ramo gera um campo
B_{\mathrm{ramo}}=\frac{\mu_0\,I_1}{4\,R}\,.
Como são dois ramos cujos campos se somam no centro, o campo total é
B_{\text{total}}=2\,\frac{\mu_0\,(I/2)}{4\,R}=\frac{\mu_0\,I}{4\,R}\,.

Passo 5

Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I=5\\ \mathrm{A} e R=0,10\\ \mathrm{m}, obtemos
B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times5}{4\times0,10} =5\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\,.
A direção do campo é perpendicular ao plano dos arcos, determinada pela regra da mão direita.

Resposta

B=5\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

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