(UFRJ)Duas barras metálicas são tais que a diferença entre seus comprimentos, em qualquer temperatura, é igual a 3 cm. Sendo os coeficientes de dilatação linear médios 15 \cdot 10^{-6} \mathrm{C}^{-1} e 10 \cdot 10^{-6} \mathrm{C}^{-1}, determine os comprimentos das barras a 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado diz que duas barras metálicas, com coeficientes de dilatação linear médios \alpha_1 = 15\times10^{-6}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1} e \alpha_2 = 10\times10^{-6}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}, mantêm sempre a diferença de comprimentos igual a \,3\text{ cm}, qualquer que seja a temperatura T. Queremos achar os comprimentos iniciais L_{1}(0^\circ\mathrm{C}) e L_{2}(0^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Cada comprimento varia com a temperatura segundo a fórmula da dilatação linear:
L_i(T) = L_{i0}\,\bigl(1 + \alpha_i\,T\bigr),
onde L_{i0}=L_i(0^\circ\mathrm{C}) é o comprimento a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Como a diferença L_2(T)-L_1(T) é sempre \,3\text{ cm}, temos
L_2(T)-L_1(T) = L_{20}(1+\alpha_2 T) - L_{10}(1+\alpha_1 T) = \bigl(L_{20}-L_{10}\bigr) + \bigl(L_{20}\alpha_2 - L_{10}\alpha_1\bigr)T = 3\text{ cm}.
Para que isso valha para todo T, o coeficiente de T deve ser zero:
L_{20}\,\alpha_2 \;-\; L_{10}\,\alpha_1 \;=\;0.

Passo 4

Da condição L_{20}\alpha_2 = L_{10}\alpha_1 segue
\frac{L_{10}}{L_{20}} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{10\times10^{-6}}{15\times10^{-6}} = \frac{2}{3},
ou seja L_{10} = \tfrac{2}{3}\,L_{20}.

Passo 5

Em T=0 temos L_{20}-L_{10}=3\text{ cm}. Substituindo L_{10}=\tfrac{2}{3}L_{20}
L_{20}-\tfrac{2}{3}L_{20} = \tfrac{1}{3}L_{20} = 3\text{ cm} \quad\Longrightarrow\quad L_{20} = 9\text{ cm},
e então
L_{10} = \tfrac{2}{3}\times9\text{ cm} = 6\text{ cm}.

Resposta

L_{1}(0^\circ\mathrm{C}) = 6\text{ cm}
L_{2}(0^\circ\mathrm{C}) = 9\text{ cm}

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