3a) (Vale 1,5 pontos)

Considere a função definida por f(x)=(1-2 p) x^{2}-(p+1) x-p^{2} com p \in \mathbb{R}.
a) Ache p de modo que a função admita um extremo relativo em x=-1
b) Verifique se, para o valor de p encontrado, a função tem um ponto de máximo ou de mínimo e determine-o.
c) Construa o gráfico.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = (1 - 2p)\,x^2 \;-\;(p+1)\,x \;-\; p^2,
com parâmetro p\in\mathbb{R}, e pede:
a) encontrar p para que haja extremo relativo em x=-1,
b) classificar esse extremo e determinar seu valor,
c) desenhar o gráfico da parábola resultante.
Para isso vamos usar derivada para achar pontos críticos, segunda derivada para classificar e a forma canônica para esboçar a curva.

Passo 2

Para ter extremo em x=-1 é preciso que
f'(-1)=0.
Primeiro calculamos a derivada:
f'(x)=2(1-2p)\,x \;-\;(p+1).
Agora impomos a condição:
f'(-1)= -2(1-2p)\;-\;(p+1)=0.
Resolvendo:
-2 +4p - p -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3p -3 =0 \quad\Longrightarrow\quad p = 1.

Passo 3

Substituindo p=1 em f, temos
f(x) = (1-2)\,x^2 -2x -1 = -x^2 -2x -1 = -(x+1)^2.
A segunda derivada é
f''(x) = 2(1-2p) = 2(1-2) = -2 < 0,
o que indica concavidade para baixo e, portanto, um ponto de máximo em x=-1. O valor do extremo é
f(-1)= -((-1)+1)^2 = 0.

Passo 4

A curva é uma parábola invertida (concavidade para baixo) com vértice em (-1,0) e eixo de simetria x=-1. Tem raiz dupla em (-1,0) e intercepta o eixo y em (0,-1). Pontos simétricos próximos ao vértice: (-2,-1). Esboce uma “U” invertido passando por esses pontos.

Resposta

(a) p = 1
(b) A função tem um ponto de máximo relativo (e absoluto) em (-1,0)
(c) É a parábola
f(x)=-(x+1)^2,
com concavidade para baixo, vértice em (-1,0), eixo de simetria x=-1, interceptos em (-1,0) e (0,-1).

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