3a) (Vale 1,5 pontos)
Considere a função definida por
com
.
a) Ache
de modo que a função admita um extremo relativo em
b) Verifique se, para o valor de
encontrado, a função tem um ponto de máximo ou de mínimo e determine-o.
c) Construa o gráfico.
a) Ache
b) Verifique se, para o valor de
c) Construa o gráfico.
Passo 1
O enunciado define a função
com parâmetro
, e pede:
a) encontrar para que haja extremo relativo em
,
b) classificar esse extremo e determinar seu valor,
c) desenhar o gráfico da parábola resultante.
Para isso vamos usar derivada para achar pontos críticos, segunda derivada para classificar e a forma canônica para esboçar a curva.
a) encontrar
b) classificar esse extremo e determinar seu valor,
c) desenhar o gráfico da parábola resultante.
Para isso vamos usar derivada para achar pontos críticos, segunda derivada para classificar e a forma canônica para esboçar a curva.
Passo 2
Para ter extremo em
é preciso que
Primeiro calculamos a derivada:
Agora impomos a condição:
Resolvendo:
Passo 3
Substituindo
em
, temos
A segunda derivada é
o que indica concavidade para baixo e, portanto, um ponto de máximo em
. O valor do extremo é
Passo 4
A curva é uma parábola invertida (concavidade para baixo) com vértice em
e eixo de simetria
. Tem raiz dupla em
e intercepta o eixo
em
. Pontos simétricos próximos ao vértice:
. Esboce uma “U” invertido passando por esses pontos.
Resposta
(a)
(b) A função tem um ponto de máximo relativo (e absoluto) em
(c) É a parábola
(b) A função tem um ponto de máximo relativo (e absoluto) em
(c) É a parábola
com concavidade para baixo, vértice em
, eixo de simetria
, interceptos em
e
.