Calcule:
c) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+3 x^{2}-4}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+3x^{2}-4}{x^{3}-1}.
O conteúdo da matéria é limite de função racional com forma indeterminada 0/0. Vamos usar fatoração de polinômios para resolver.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que ao substituir x=1 obtemos indeterminação:
\text{numerador} = 1^{3}+3\cdot1^{2}-4 = 0, \quad \text{denominador} = 1^{3}-1 = 0.
Então é do tipo 0/0.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador.
Para o numerador x^{3}+3x^{2}-4, divido por (x-1) usando divisão sintética em x=1:
coeficientes: 1,\;3,\;0,\;-4
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 3 & 0 & -4\\\ & & 1 & 4 & 4\\hline & 1 & 4 & 4 & 0 \end{array}
Logo
x^{3}+3x^{2}-4 = (x-1)\bigl(x^{2}+4x+4\bigr) = (x-1)(x+2)^{2}.
Para o denominador, usamos a identidade
x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração e cancelando o fator comum (x-1) (válido para x\neq1), temos
\frac{x^{3}+3x^{2}-4}{x^{3}-1} = \frac{(x-1)(x+2)^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)} = \frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+x+1}.

Passo 5

Agora o limite é imediato substituindo x=1:
\lim_{x\to1}\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+x+1} = \frac{(1+2)^{2}}{1^{2}+1+1} = \frac{9}{3} = 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados