Dê as derivadas das seguintes funçōes:
b) f(x)=e^{\cos \left(x^{3}+2 x\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\cos\bigl(x^{3}+2x\bigr)}.
Para isso vamos usar a regra da cadeia em três níveis: primeiro a exponencial, depois o cosseno e por fim o polinômio x^{3}+2x.

Passo 2

Defina
v(x)=x^{3}+2x,\quad u(v)=\cos(v),\quad f(u)=e^{u}.
Então
\frac{dv}{dx}=3x^{2}+2,\quad \frac{du}{dv}=-\sin(v),\quad \frac{df}{du}=e^{u}.
Pela regra da cadeia,
\frac{df}{dx} =\frac{df}{du}\,\frac{du}{dv}\,\frac{dv}{dx} =e^{u}\,\bigl(-\sin(v)\bigr)\,(3x^{2}+2).
Substituindo u=\cos(x^{3}+2x) e v=x^{3}+2x, obtemos

Resposta

f'(x)=-\bigl(3x^{2}+2\bigr)\,\sin\bigl(x^{3}+2x\bigr)\,e^{\cos\bigl(x^{3}+2x\bigr)}.

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