Calcule:
b) \lim _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{2 x^{3}+x^{2}+4 x+2}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\tfrac12}\frac{2x^{3}+x^{2}+4x+2}{2x+1}.
O conteúdo principal aqui é limite de funções racionais, identificação de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e fatoração algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos testar a substituição direta x=-\tfrac12:
Numerador:
2\bigl(-\tfrac12\bigr)^{3}+\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}+4\bigl(-\tfrac12\bigr)+2 =-\tfrac14+\tfrac14-2+2=0.
Denominador:
2\bigl(-\tfrac12\bigr)+1=-1+1=0.
Portanto temos indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, e é preciso simplificar algebricamente.

Passo 3

Fatoramos o numerador por agrupamento:
2x^{3}+x^{2}+4x+2 =(2x^{3}+x^{2})+(4x+2) =x^{2}(2x+1)+2(2x+1) =(2x+1)(x^{2}+2).

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando o fator comum 2x+1 (válido para x\neq -\tfrac12) obtemos
\frac{2x^{3}+x^{2}+4x+2}{2x+1} =\frac{(2x+1)(x^{2}+2)}{2x+1} =x^{2}+2.
Assim
\lim_{x\to -\tfrac12}\frac{2x^{3}+x^{2}+4x+2}{2x+1} =\lim_{x\to -\tfrac12}\bigl(x^{2}+2\bigr) =\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}+2 =\tfrac{1}{4}+2 =\tfrac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

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