Se
, determine
e
de tal modo que
tenha um extremo relativo em
e que o gráfico de
tenha um ponto de inflexão em
. (Leithold, pág 248, ex. 27)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função polinomial do terceiro grau:
Precisamos determinar os coeficientes
,
,
e
de forma que:
- A função tenha um extremo relativo no ponto
. - O gráfico da função tenha um ponto de inflexão no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas:
- A derivada primeira
nos ajuda a encontrar os extremos relativos. - A derivada segunda
nos ajuda a encontrar os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas da função
:
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Essas derivadas nos ajudarão a encontrar as condições para os extremos e pontos de inflexão.
Passo 3
Vamos utilizar a condição de que
tem um extremo relativo em
.
Para que haja um extremo em
, a derivada primeira nesse ponto deve ser zero:
Substituindo
na derivada primeira:
Portanto,
.
Além disso, como
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição de que há um ponto de inflexão em
.
Um ponto de inflexão ocorre quando a derivada segunda muda de sinal, ou seja,
nesse ponto.
Então:
Substituindo
na derivada segunda:
Podemos simplificar essa equação dividindo por 2:
Passo 5
Além disso, o ponto
está no gráfico de
, então:
Substituindo
na função:
Já sabemos que
e
, então:
Passo 6
Lembrando que
(obtido no Passo 4), substituímos na equação
:
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
:
Passo 7
Recapitulando os valores encontrados:
Resposta
Os coeficientes são
,
,
e
. Portanto, a função é: