Se f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d, determine a, b, c e d de tal modo que f tenha um extremo relativo em 0,3 e que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, -1). (Leithold, pág 248, ex. 27)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função polinomial do terceiro grau:
Precisamos determinar os coeficientes , , e de forma que:
  1. A função tenha um extremo relativo no ponto .
  2. O gráfico da função tenha um ponto de inflexão no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas:
  • A derivada primeira nos ajuda a encontrar os extremos relativos.
  • A derivada segunda nos ajuda a encontrar os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função :
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Essas derivadas nos ajudarão a encontrar as condições para os extremos e pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos utilizar a condição de que tem um extremo relativo em .
Para que haja um extremo em , a derivada primeira nesse ponto deve ser zero:
Substituindo na derivada primeira:
Portanto, .
Além disso, como :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos usar a condição de que há um ponto de inflexão em .
Um ponto de inflexão ocorre quando a derivada segunda muda de sinal, ou seja, nesse ponto.
Então:
Substituindo na derivada segunda:
Podemos simplificar essa equação dividindo por 2:

Passo 5

Além disso, o ponto está no gráfico de , então:
Substituindo na função:
Já sabemos que e , então:

Passo 6

Lembrando que (obtido no Passo 4), substituímos na equação :
Agora que sabemos que , podemos encontrar :

Passo 7

Recapitulando os valores encontrados:

Resposta

Os coeficientes são , , e . Portanto, a função é:

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