Sejam
e
duas funções de
, ou seja,
e
. Mostre que:
b)
constante;
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a derivada de uma constante multiplicada por uma função, ou seja,
, é igual a essa constante vezes a derivada da função, que fica
. Vamos usar o que sabemos sobre derivadas e propriedades das funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função
, denotada por
, mede a taxa de variação de
em relação a
. Basicamente, ela nos diz como a função está “subindo ou descendo” naquele ponto.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
. Como
é uma constante, isso significa que seu valor não muda quando
muda. A derivada de uma constante é zero, mas aqui estamos multiplicando a constante pela função, então precisamos aplicar a regra do produto.
Passo 4
A regra do produto diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. No nosso caso, como
é constante, a derivada de
é zero. Então, aplicando a regra:
Como
, fica:
Passo 5
Então, simplificando, vemos que a derivada de
é apenas
vezes a derivada de
. Isso confirma o que queríamos mostrar.