Sejam f e g duas funções de x, ou seja, f(x) e g(x). Mostre que:
b) d/dx (k . f) = k * d/dx f constante;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a derivada de uma constante multiplicada por uma função, ou seja, , é igual a essa constante vezes a derivada da função, que fica . Vamos usar o que sabemos sobre derivadas e propriedades das funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função f(x), denotada por , mede a taxa de variação de f em relação a x. Basicamente, ela nos diz como a função está “subindo ou descendo” naquele ponto.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de . Como k é uma constante, isso significa que seu valor não muda quando x muda. A derivada de uma constante é zero, mas aqui estamos multiplicando a constante pela função, então precisamos aplicar a regra do produto.

Passo 4

A regra do produto diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. No nosso caso, como k é constante, a derivada de k é zero. Então, aplicando a regra:
Como , fica:

Passo 5

Então, simplificando, vemos que a derivada de é apenas k vezes a derivada de f(x). Isso confirma o que queríamos mostrar.

Resposta

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