Faça um esboço dográfico da função f(x) = x^3 + 5*x^2 + 3*x - 4. (Leithold, pag 259, ex 13.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para fazermos um esboço dográfico da função . Isso significa que vamos desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar pontos críticos, e entender o comportamento da função. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso nos dá os pontos onde o gráfico cruza o eixo . Então, resolvemos a equação:
Podemos tentar fatores possíveis e descobrir que é uma raiz. Dividindo o polinômio por , encontramos:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que nos ajuda a identificar os pontos de máximo e mínimo (pontos críticos). A derivada de é:
Para achar os pontos críticos, resolvemos :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos dois pontos críticos em e .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito positivo e negativo. Para funções polinomiais, o termo de maior grau domina o comportamento:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Isso nos dá uma ideia de como o gráfico se comporta nas extremidades.

Passo 5

Agora, vamos identificar o ponto de interseção com o eixo . Basta calcular :
Então, o gráfico cruza o eixo no ponto .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Raízes em , ,
  • Pontos críticos em e
  • Interseção com o em
  • Comportamento do gráfico subindo para quando e descendo para quando

Resposta

O esboço dográfico da função apresenta três pontos onde cruza o eixo , dois pontos críticos para máximos e mínimos, e intercepta o eixo no ponto . O gráfico sobe para quando aumenta e desce para quando diminui, formando uma curva característica de um polinômio de grau 3.

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