Faça um esboço dográfico da função
. (Leithold, pag 259, ex 13.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para fazermos um esboço dográfico da função
. Isso significa que vamos desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar pontos críticos, e entender o comportamento da função. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Isso nos dá os pontos onde o gráfico cruza o eixo
. Então, resolvemos a equação:
Podemos tentar fatores possíveis e descobrir que
é uma raiz. Dividindo o polinômio por
, encontramos:
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que nos ajuda a identificar os pontos de máximo e mínimo (pontos críticos). A derivada de
é:
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos dois pontos críticos em
e
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo e negativo. Para funções polinomiais, o termo de maior grau domina o comportamento:
- Quando
, - Quando
,
Isso nos dá uma ideia de como o gráfico se comporta nas extremidades.
Passo 5
Agora, vamos identificar o ponto de interseção com o eixo
. Basta calcular
:
Então, o gráfico cruza o eixo
no ponto
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Raízes em
, , - Pontos críticos em
e - Interseção com o
em - Comportamento do gráfico subindo para
quando e descendo para quando
Resposta
O esboço dográfico da função
apresenta três pontos onde cruza o eixo
, dois pontos críticos para máximos e mínimos, e intercepta o eixo
no ponto
. O gráfico sobe para
quando
aumenta e desce para
quando
diminui, formando uma curva característica de um polinômio de grau 3.