Sejam f e g duas funções de x, ou seja, f(x) e g(x). Mostre que:
d) d/dx(f.g) = df/dx.g + f.dg/dx;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a derivada do produto de duas funções, f(x) e g(x), é igual a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das regras de derivação. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função h(x) em relação a x é definida como:
Neste caso, queremos encontrar a derivada do produto .

Passo 3

Aplicando a definição de derivada ao produto , temos:

Passo 4

Agora, vamos manipular a expressão dentro do limite para separar os termos. Adicionamos e subtraímos :
Isso nos permite dividir a expressão em duas partes.

Passo 5

Separando os termos:
Aqui, dividimos a diferença dos produtos em uma soma de produtos de diferenças.

Passo 6

Agora, podemos aplicar o limite a cada parte separadamente:
Isso é possível porque os limites respeitam a soma e a multiplicação quando existem.

Passo 7

Observando as expressões, reconhecemos que:
e
Além disso, tende a g(x) quando h tende a 0.

Passo 8

Substituindo esses resultados, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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