Sejam 
  e 
  duas funções de 
 , ou seja, 
  e 
 . Mostre que:
d) 
 ;
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a derivada do produto de duas funções, 
  e 
 , é igual a 
 . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das regras de derivação. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função 
  em relação a 
  é definida como:
Neste caso, queremos encontrar a derivada do produto 
 .
Passo 3
Aplicando a definição de derivada ao produto 
 , temos:
Passo 4
Agora, vamos manipular a expressão dentro do limite para separar os termos. Adicionamos e subtraímos 
 :
Isso nos permite dividir a expressão em duas partes.
Passo 5
Separando os termos:
Aqui, dividimos a diferença dos produtos em uma soma de produtos de diferenças.
Passo 6
Agora, podemos aplicar o limite a cada parte separadamente:
Isso é possível porque os limites respeitam a soma e a multiplicação quando existem.
Passo 7
Observando as expressões, reconhecemos que:
e
Além disso, 
  tende a 
  quando 
  tende a 
 .
Passo 8
Substituindo esses resultados, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: