Sejam
e
duas funções de
, ou seja,
e
. Mostre que:
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a derivada do produto de duas funções,
e
, é igual a
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das regras de derivação. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função
em relação a
é definida como:
Neste caso, queremos encontrar a derivada do produto
.
Passo 3
Aplicando a definição de derivada ao produto
, temos:
Passo 4
Agora, vamos manipular a expressão dentro do limite para separar os termos. Adicionamos e subtraímos
:
Isso nos permite dividir a expressão em duas partes.
Passo 5
Separando os termos:
Aqui, dividimos a diferença dos produtos em uma soma de produtos de diferenças.
Passo 6
Agora, podemos aplicar o limite a cada parte separadamente:
Isso é possível porque os limites respeitam a soma e a multiplicação quando existem.
Passo 7
Observando as expressões, reconhecemos que:
e
Além disso,
tende a
quando
tende a
.
Passo 8
Substituindo esses resultados, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: