(a) Com base no conhecimento da funçāo de partiçāo Z derivada no texto, escreva uma expressão para a entropia S de um gás ideal que obedece à estatística de Fermi-Dirac (FD).
Expresse sua resposta unicamente em termos de \bar{n}_{r}, o número médio de partículas no estado r.
(b) Escreva uma expressão semelhante para a entropia S de um gás que obedece à estatística de BoseEinstein (BE).
(c) O que essas expressōes para S se tornam no limite clássico, quando \bar{n}_{r} \ll 1 ?

Passo 1

O enunciado pede as expressões da entropia S de um gás ideal quântico em termos do número médio de ocupação \bar{n}_{r} de cada estado r. Vamos usar o resultado padrão da estatística de Fermi–Dirac e Bose–Einstein, obtido a partir da partição de grande-canônico, e depois fazer o limite clássico \bar{n}_{r}\ll1.

Passo 2

Na estatística de Fermi–Dirac cada nível admite no máximo uma partícula, e a entropia por nível é dada combinatoriamente por
S_r = -k_{B}\Bigl[\bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r} + \bigl(1-\bar{n}_{r}\bigr)\ln\bigl(1-\bar{n}_{r}\bigr)\Bigr].
Somando sobre todos os estados:
S = \sum_{r}S_{r} = -\,k_{B}\sum_{r}\Bigl[\bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r} + \bigl(1-\bar{n}_{r}\bigr)\ln\bigl(1-\bar{n}_{r}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Na estatística de Bose–Einstein níveis podem ter qualquer número de partículas, e a entropia por nível é
S_r = k_{B}\Bigl[(1+\bar{n}_{r})\ln(1+\bar{n}_{r}) - \bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r}\Bigr].
Logo, somando sobre r:
S = k_{B}\sum_{r}\Bigl[(1+\bar{n}_{r})\ln(1+\bar{n}_{r}) - \bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r}\Bigr].

Passo 4

No limite clássico \bar{n}_{r}\ll1 temos
(1\pm\bar{n}_{r})\ln(1\pm\bar{n}_{r}) \approx \bar{n}_{r} \quad(\text{pois }\ln(1\pm x)\approx x\text{ para }x\ll1).
Tanto em FD quanto em BE as partes “ \pm\bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r}” coincidem no primeiro ordem, e as parcelas quadráticas desaparecem. Assim
S \approx k_{B}\sum_{r}\bigl[\bar{n}_{r} - \bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r}\bigr] = k_{B}\sum_{r}\bar{n}_{r}\bigl(1-\ln\bar{n}_{r}\bigr).

Resposta

(a)
S = -\,k_{B}\sum_{r}\Bigl[\bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r} + \bigl(1-\bar{n}_{r}\bigr)\ln\bigl(1-\bar{n}_{r}\bigr)\Bigr].
(b)
S = k_{B}\sum_{r}\Bigl[(1+\bar{n}_{r})\ln(1+\bar{n}_{r}) - \bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r}\Bigr].
(c)
S \approx k_{B}\sum_{r}\bigl[\bar{n}_{r} - \bar{n}_{r}\ln\bar{n}_{r}\bigr] = k_{B}\sum_{r}\bar{n}_{r}\bigl(1-\ln\bar{n}_{r}\bigr), \quad\text{para }\bar{n}_{r}\ll1.

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