(a) Com base no conhecimento da funçāo de partiçāo
derivada no texto, escreva uma expressão para a entropia
de um gás ideal que obedece à estatística de Fermi-Dirac (FD).
Expresse sua resposta unicamente em termos de
, o número médio de partículas no estado
.
(b) Escreva uma expressão semelhante para a entropia
de um gás que obedece à estatística de BoseEinstein (BE).
(c) O que essas expressōes para
se tornam no limite clássico, quando
?
Expresse sua resposta unicamente em termos de
(b) Escreva uma expressão semelhante para a entropia
(c) O que essas expressōes para
Passo 1
O enunciado pede as expressões da entropia
de um gás ideal quântico em termos do número médio de ocupação
de cada estado
. Vamos usar o resultado padrão da estatística de Fermi–Dirac e Bose–Einstein, obtido a partir da partição de grande-canônico, e depois fazer o limite clássico
.
Passo 2
Na estatística de Fermi–Dirac cada nível admite no máximo uma partícula, e a entropia por nível é dada combinatoriamente por
Somando sobre todos os estados:
Passo 3
Na estatística de Bose–Einstein níveis podem ter qualquer número de partículas, e a entropia por nível é
Logo, somando sobre
:
Passo 4
No limite clássico
temos
Tanto em FD quanto em BE as partes “
” coincidem no primeiro ordem, e as parcelas quadráticas desaparecem. Assim
Resposta
(a)
(b)
(c)