Para cada expressão, dê uma substituição trigonométrica que elimine o radical.
\sqrt{x^{2}-a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede uma substituição trigonométrica para eliminar o radical \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Vamos usar identidades trigonométricas que transformam expressões da forma \sqrt{u^{2}-a^{2}} em funções trigonométricas sem raiz.

Passo 2

Para \sqrt{x^{2}-a^{2}} a identidade útil é
\operatorname{sec}^{2}\theta - 1 = \tan^{2}\theta.
Portanto, fazemos a troca
x = a \operatorname{sec} \theta.

Passo 3

Substituindo x = a\operatorname{sec}\theta no radical:
\sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta - a^{2}} = a\,\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta - 1} = a\,\tan \theta.
E a diferencial fica
dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Resposta

x = a \operatorname{sec} \theta, que leva a \sqrt{x^{2}-a^{2}} = a \tan \theta e dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Exercícios relacionados