Exercício 1. Faça um esboço das superfícies de equações:
z=2+x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Faça um esboço da superfície de equação \;z=2+x^{2}+y^{2}\;".
Informações dadas: a equação da superfície é \;z=2+x^{2}+y^{2}\;. Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Classificação da superfície (sem resolver nada ainda): observe a forma da equação \;z=2+x^{2}+y^{2}\;. É uma expressão quadrática em \;x e \;y somada a uma constante. Quando a variável dependente ( z) é igual a uma soma de quadrados de x e y mais uma constante, isso tipicamente gera um paraboloide que se abre para cima. O ponto mais baixo (vértice) ocorre quando os quadrados são mínimos, ou seja em x=0 e y=0. Avaliando nesses valores obtemos o vértice \;(0,0,2).

Passo 3

Curvas de nível (método fundamental para esboço): fixamos \;z=k\; (constante) e examinamos as interseções com planos horizontais. Da equação obtém-se
x^{2}+y^{2}=k-2.
Isso diz que, para cada \;k\ge 2\;, a interseção é um círculo de raio
r=\sqrt{k-2}.
Exemplos numéricos (úteis para desenhar): para \;k=2 temos \;r=0 (apenas o ponto (0,0,2)); para \;k=3 temos \;r=1 (círculo de raio 1 no plano z=3); para \;k=6 temos \;r=2 (círculo de raio 2 no plano z=6). Portanto as curvas de nível são círculos concêntricos crescendo conforme subimos em z.

Passo 4

Seções verticais (vistas de perfil) — planos que facilitam o desenho: tome os planos \;y=0\; e \;x=0\;.
  • Em \;y=0\;: a equação fica \;z=2+x^{2}\;, que é uma parábola no plano xz com vértice em (0,2) (ou, em coordenadas 3D, ponto (0,0,2)) abrindo para +z.
  • Em \;x=0\;: a equação fica \;z=2+y^{2}\;, parábola análoga no plano yz.
    Essas parábolas mostram claramente o comportamento vertical da superfície: subimos mais rápido quanto maior |x| ou |y|.

Passo 5

Parametrização polar (mostra a simetria circular): use x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Então
z=2+r^{2}.
Para cada raio r\ge 0 e ângulo \theta obtém-se um ponto da superfície. Essa forma mostra que a superfície é radialmente simétrica (mesma forma em todas as direções do plano xy) e que a altura depende só de r.

Passo 6

Pontos úteis para marcar no esboço (calculei a partir da equação):
\;(0,0,2) (vértice),
\;(1,0,3) e \;(0,1,3) (altura 3, raio 1),
\;(1,1,4) porque 1^{2}+1^{2}=2 e z=2+2=4,
\;(2,0,6) porque 2^{2}=4 e z=2+4=6.
Marcar esses pontos ajuda a localizar os círculos de nível e as parábolas de seção.

Passo 7

Como desenhar passo a passo (instruções práticas para prova, sem régua complexa):
  1. Desenhe os eixos x, y (plano) e o eixo z vertical; marque a origem e a altura \;z=2\; sobre o eixo z.
  2. Coloque o vértice da superfície no ponto (0,0,2).
  3. No plano \;z=3\; desenhe um círculo de raio \;1 centrado em (0,0,3). No plano \;z=4\; desenhe um círculo de raio \sqrt{2} (aprox. 1{,}414), no plano \;z=6\; desenhe um círculo de raio 2. Faça alguns desses círculos concêntricos empilhados.
  4. Para reforçar a forma, trace uma parábola na direção x (tomando y=0) e outra na direção y (tomando x=0); elas passam pelo vértice e cruzam os círculos nos pontos que calculamos.
  5. Conecte suavemente os círculos com linhas curvas que formem a superfície contínua e indique com setas para cima que a superfície se abre para +\!z.

Passo 8

Observação sobre inclinação: o gradiente de z é \nabla z=(2x,2y). Isso indica que a inclinação da superfície cresce com a distância ao eixo: quanto maior \sqrt{x^{2}+y^{2}}, maior o módulo da inclinação. Em termos visuais, as “paredes” do paraboloide ficam mais íngremes afastando-se do eixo.

Passo 9

Resumo intuitivo para o desenho final: a superfície é um paraboloide circular (paraboloide elíptico com simetria circular) com vértice em (0,0,2) que se abre para cima; suas curvas de nível são círculos centrados na projeção (0,0) do plano xy com raio \sqrt{z-2}.

Resposta

Paraboloide circular com vértice em (0,0,2) que se abre para cima; curvas de nível dadas por \;x^{2}+y^{2}=z-2\; (círculos de raio \sqrt{z-2} para \;z\ge 2).

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