Exercício 1. Faça um esboço das superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado pede: "Faça um esboço da superfície de equação
".
Informações dadas: a equação da superfície é . Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Informações dadas: a equação da superfície é
Passo 2
Classificação da superfície (sem resolver nada ainda): observe a forma da equação
. É uma expressão quadrática em
e
somada a uma constante. Quando a variável dependente (
) é igual a uma soma de quadrados de
e
mais uma constante, isso tipicamente gera um paraboloide que se abre para cima. O ponto mais baixo (vértice) ocorre quando os quadrados são mínimos, ou seja em
e
. Avaliando nesses valores obtemos o vértice
.
Passo 3
Curvas de nível (método fundamental para esboço): fixamos
(constante) e examinamos as interseções com planos horizontais. Da equação obtém-se
Isso diz que, para cada
, a interseção é um círculo de raio
Exemplos numéricos (úteis para desenhar): para
temos
(apenas o ponto
); para
temos
(círculo de raio
no plano
); para
temos
(círculo de raio
no plano
). Portanto as curvas de nível são círculos concêntricos crescendo conforme subimos em
.
Passo 4
Seções verticais (vistas de perfil) — planos que facilitam o desenho: tome os planos
e
.
- Em
: a equação fica , que é uma parábola no plano com vértice em (ou, em coordenadas 3D, ponto ) abrindo para . - Em
: a equação fica , parábola análoga no plano .
Essas parábolas mostram claramente o comportamento vertical da superfície: subimos mais rápido quanto maiorou .
Passo 5
Parametrização polar (mostra a simetria circular): use
. Então
Para cada raio
e ângulo
obtém-se um ponto da superfície. Essa forma mostra que a superfície é radialmente simétrica (mesma forma em todas as direções do plano
) e que a altura depende só de
.
Passo 6
Pontos úteis para marcar no esboço (calculei a partir da equação):
(vértice),
e
(altura
, raio
),
porque
e
,
porque
e
.
Marcar esses pontos ajuda a localizar os círculos de nível e as parábolas de seção.
Marcar esses pontos ajuda a localizar os círculos de nível e as parábolas de seção.
Passo 7
Como desenhar passo a passo (instruções práticas para prova, sem régua complexa):
- Desenhe os eixos
, (plano) e o eixo vertical; marque a origem e a altura sobre o eixo . - Coloque o vértice da superfície no ponto
. - No plano
desenhe um círculo de raio centrado em . No plano desenhe um círculo de raio (aprox. ), no plano desenhe um círculo de raio . Faça alguns desses círculos concêntricos empilhados. - Para reforçar a forma, trace uma parábola na direção
(tomando ) e outra na direção (tomando ); elas passam pelo vértice e cruzam os círculos nos pontos que calculamos. - Conecte suavemente os círculos com linhas curvas que formem a superfície contínua e indique com setas para cima que a superfície se abre para
.
Passo 8
Observação sobre inclinação: o gradiente de
é
. Isso indica que a inclinação da superfície cresce com a distância ao eixo: quanto maior
, maior o módulo da inclinação. Em termos visuais, as “paredes” do paraboloide ficam mais íngremes afastando-se do eixo.
Passo 9
Resumo intuitivo para o desenho final: a superfície é um paraboloide circular (paraboloide elíptico com simetria circular) com vértice em
que se abre para cima; suas curvas de nível são círculos centrados na projeção
do plano
com raio
.
Resposta
Paraboloide circular com vértice em
que se abre para cima; curvas de nível dadas por
(círculos de raio
para
).