3n Queståo: Considere a superfĩcie S, definia por x^2+2 x y+2 y^2+z^2=4.
a) (0,5). Determine um vetor normal a S, no ponto (0,0,2).
b) (0.5). Determine a equação cartesiana do plano tangente a S, no ponto (0,0,2).

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida implicitamente por
x^2+2xy+2y^2+z^2=4
e pede (a) um vetor normal a S em (0,0,2) e (b) a equação do plano tangente nesse ponto. Vamos usar o gradiente de uma função implícita para achar o vetor normal e depois a equação do plano.

Passo 2

Definimos a função implícita
F(x,y,z)=x^2+2xy+2y^2+z^2-4
O vetor normal a S num ponto (x,y,z) é dado por nabla F(x,y,z). Calculando as derivadas parciais, temos
nabla F(x,y,z)=l(partialxF,;partialyF,;partialzFr) =l(2x+2y,;2x+4y,;2zr)

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em P=(0,0,2):
nabla F(0,0,2)=(2cdot0+2cdot0,;2cdot0+4cdot0,;2cdot2)=(0,0,4)
Logo, um vetor normal a S em (0,0,2) é (0,0,4) (ou qualquer múltiplo não-nulo dele).

Passo 4

A equação do plano tangente a S em P usa a normal nabla F(0,0,2) e a condição
nabla F(0,0,2)cdotl((x,y,z)-(0,0,2)r)=0
Substituindo,
(0,0,4)cdot(x,y,z-2)=0 Longrightarrow 4(z-2)=0 Longrightarrow z=2

Resposta

a) Um vetor normal é (0,0,4).
b) A equação do plano tangente é z=2.

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