3n Queståo: Considere a superfĩcie
, definia por
.
a) (0,5). Determine um vetor normal a
, no ponto
.
b) (0.5). Determine a equação cartesiana do plano tangente a
, no ponto
.
a) (0,5). Determine um vetor normal a
b) (0.5). Determine a equação cartesiana do plano tangente a
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida implicitamente por
e pede (a) um vetor normal a
em
e (b) a equação do plano tangente nesse ponto. Vamos usar o gradiente de uma função implícita para achar o vetor normal e depois a equação do plano.
Passo 2
Definimos a função implícita
O vetor normal a
num ponto
é dado por
. Calculando as derivadas parciais, temos
Passo 3
Avaliaremos o gradiente em
:
Logo, um vetor normal a
em
é
(ou qualquer múltiplo não-nulo dele).
Passo 4
A equação do plano tangente a
em
usa a normal
e a condição
Substituindo,
Resposta
a) Um vetor normal é
.
b) A equação do plano tangente é .
b) A equação do plano tangente é