Calcule lim n infty an em que
(an)=(((-1)^n-(-1)^n+1)(n e^cos (1n)-1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de an quando n tende ao infinito, onde:
an = ( (-1)^n - (-1)^n+1 ) ( n e^cos ( 1n ) - 1 )
Vamos precisar entender de limites, propriedades das potências de -1 e de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte que envolve (-1)^n. Observe que:
(-1)^n - (-1)^n+1 = (-1)^n [1 - (-1)] = (-1)^n times 2 = 2 (-1)^n
Então, podemos reescrever an como:
an = 2 (-1)^n ( n e^cos ( 1n ) - 1 )

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão n e^cos ( 1n ) quando n tende ao infinito. Sabemos que, para valores grandes de n , 1n é muito pequeno. Então, podemos usar a aproximação do cosseno para valores próximos de 0:
cos ( 1n ) approx 1 - 12n^2
Portanto:
e^cos ( 1n ) approx e^1 - 12n^2 = e cdot e^- 12n^2 approx e ( 1 - 12n^2 )
Multiplicando por n :
n e^cos ( 1n ) approx n e ( 1 - 12n^2 ) = e n - e2n

Passo 4

Substituindo essa aproximação de volta na expressão de an :
an approx 2 (-1)^n ( e n - e2n - 1 )
Para n muito grande, o termo e n domina, então:
an approx 2 (-1)^n e n
Isso significa que an cresce em magnitude proporcional a n , mas alterna de sinal por causa do (-1)^n .

Passo 5

Finalmente, analisando o comportamento de an quando n tende ao infinito:
  • A magnitude de an cresce sem limite porque é proporcional a n .
  • O sinal de an alterna entre positivo e negativo devido ao (-1)^n .
Portanto, o limite de an não existe porque an não se aproxima de um número fixo, mas sim cresce para +infty e -infty alternadamente.

Resposta

O limite limn infty an não existe, pois an cresce sem limite alternando sinais.

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