Calcule
em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de
quando
tende ao infinito, onde:
Vamos precisar entender de limites, propriedades das potências de
e de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte que envolve
. Observe que:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
quando
tende ao infinito. Sabemos que, para valores grandes de
,
é muito pequeno. Então, podemos usar a aproximação do cosseno para valores próximos de 0:
Portanto:
Multiplicando por
:
Passo 4
Substituindo essa aproximação de volta na expressão de
:
Para
muito grande, o termo
domina, então:
Isso significa que
cresce em magnitude proporcional a
, mas alterna de sinal por causa do
.
Passo 5
Finalmente, analisando o comportamento de
quando
tende ao infinito:
- A magnitude de
cresce sem limite porque é proporcional a . - O sinal de
alterna entre positivo e negativo devido ao .
Portanto, o limite de
não existe porque
não se aproxima de um número fixo, mas sim cresce para
e
alternadamente.
Resposta
O limite
não existe, pois
cresce sem limite alternando sinais.