O conteúdo é integração de função racional via decomposição em frações parciais. Vamos decompor
em termos mais simples e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Assumimos a forma
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Como isso deve ser igual a , igualamos coeficientes:
Da segunda equação vem e em :
Resolvendo, achamos
Portanto
Passo 3
Reescrevendo a integral:
integral 2x^2-7(x^2+4)(x-1),dx = integral l(-1x-1 + 3x+3x^2+4r),dx
Separemos:
integral -1x-1,dx + integral 3xx^2+4,dx + integral 3x^2+4,dx
integral -1x-1,dx = -lnl|x-1r|.
Para integral 3xx^2+4,dx, faça u = x^2+4, então du = 2x,dx. Logo
integral 3xx^2+4,dx = 32integral duu = 32lnl(x^2+4r)
Para integral 3x^2+4,dx, usamos que integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracxar).
Aqui a^2=4 dá a=2, logo
integral 3x^2+4,dx = 3cdot 12arctan!l(tfracx2r) = 32arctan!l(tfracx2r)