Calcular a integral:
integral 2 x^2-7(x^2+4)(x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x^2-7(x^2+4)(x-1),dx
O conteúdo é integração de função racional via decomposição em frações parciais. Vamos decompor
2x^2-7(x^2+4)(x-1)
em termos mais simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Assumimos a forma
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Como isso deve ser igual a , igualamos coeficientes:
Da segunda equação vem e em :
Resolvendo, achamos
Portanto

Passo 3

Reescrevendo a integral:
integral 2x^2-7(x^2+4)(x-1),dx = integral l(-1x-1 + 3x+3x^2+4r),dx
Separemos:
integral -1x-1,dx + integral 3xx^2+4,dx + integral 3x^2+4,dx
  1. integral -1x-1,dx = -lnl|x-1r|.
  2. Para integral 3xx^2+4,dx, faça u = x^2+4, então du = 2x,dx. Logo
integral 3xx^2+4,dx = 32integral duu = 32lnl(x^2+4r)
  1. Para integral 3x^2+4,dx, usamos que
    integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracxar).
    Aqui a^2=4 a=2, logo
integral 3x^2+4,dx = 3cdot 12arctan!l(tfracx2r) = 32arctan!l(tfracx2r)

Passo 4

Somando todas as partes, a integral vale
-lnl|x-1r| + 32lnl(x^2+4r) + 32arctan!l(tfracx2r) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxed integral 2x^2-7(x^2+4)(x-1),dx = -lnl|x-1r| + tfrac32lnl(x^2+4r) + tfrac32arctan!l(tfracx2r) + C

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