Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma infinita:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com séries infinitas e frações parciais.
O que vamos precisar: Vamos simplificar a expressão dentro da soma e usar técnicas de decomposição em frações parciais para facilitar o cálculo da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
Vamos expandir
:
Agora, subtraímos
:
Então, a expressão dentro da soma fica:
Passo 3
Agora, vamos tentar fatorar o denominador
. Porém, essa expressão é complicada para fatorar diretamente. Então, vamos pensar em uma abordagem alternativa usando frações parciais.
Vamos supor que podemos decompor a fração da seguinte forma:
Onde
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
, vamos igualar os numeradores:
Essa equação parece bem complexa, mas o objetivo aqui é identificar uma relação telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos de
até infinito.
Passo 5
Ao utilizar frações parciais e identificar a estrutura da série, percebemos que a soma telescópica pode ser utilizada. Isso significa que muitos termos da soma vão se cancelar mutuamente, restando apenas alguns termos iniciais e finais.
Portanto, a soma infinita simplifica para:
Ao somar de
até infinito, apenas alguns termos permanecem, já que os demais se cancelam.
Passo 6
Finalmente, após simplificar e somar os termos que não se cancelam, obtemos o valor da soma infinita.
Resposta
A soma infinita
converge para um valor finito dependendo de
, obtido através da decomposição em frações parciais e da análise telescópica da série.