3n Questão (valor 3.5)
Calcule os seguntes limites, caso existam:
lim x infty[x^22 x+1-x^22 x-1]

Passo 1

O enunciado pede o limite
limx to inftygl[x^22x+1-x^22x-1gr]
O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções racionais no infinito. Para resolver, vamos combinar as duas frações em uma única expressão e depois analisar o comportamento dos termos de maior grau em x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a diferença como uma única fração sobre o produto dos denominadores:
x^22x+1-x^22x-1 =x^2(2x-1)-x^2(2x+1)(2x+1)(2x-1)

Passo 3

Agora simplificamos o numerador e o denominador:
x^2(2x-1)-x^2(2x+1) =2x^3-x^2-2x^3-x^2 =-2x^2,
(2x+1)(2x-1)=4x^2-1
Logo a expressão fica
-2x^24x^2-1

Passo 4

Para avaliar o limite de
-2x^24x^2-1
quando xtoinfty, fatoramos x^2 em cima e embaixo:
-2x^24x^2-1 =-24-tfrac1x^2 ;xrightarrow[xtoinfty]; -24 =-12

Resposta

-tfrac12

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