Questăo (valor 1.5 )
Seja
tal que
, para todo
Calcule
.
Seja
Passo 1
O enunciado define uma função
sujeita à desigualdade
para todo
. Pede-se
O conteúdo principal é o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que
, e em seguida usar que
é limitada.
Passo 2
Isolamos
subtraindo 1 de cada membro:
Agora usamos a expansão em série de
em torno de
:
.
Tomando obtemos
Tomando
logo
Passo 3
Observe que, quando
, tanto
Pelo Teorema do Confronto, segue que
Passo 4
Sabemos que a função
cosl(tfrac1x+x^2r) é sempre limitada entre
-1 e
1 . Logo, para todo
x ,
E como
limxto0f(x)=0 , temos também
limxto0|f(x)|=0 .
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto de novo ao produto, concluímos que
Resposta
0