2^2 n Questăo (valor 1.5 )
Seja f: R R tal que 1+x^2+x^63 <= f(x)+1 <= sec x^2+x^63, para todo x in R Calcule lim x 0[f(x) cos (1x+x^2)].

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR sujeita à desigualdade
1 + x^2 + x^63 ;<=; f(x) + 1 ;<=; secl(x^2r) + x^63,
para todo x. Pede-se
limxto0l[f(x),cosl(tfrac1x+x^2r)r]
O conteúdo principal é o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que f(x)to0, e em seguida usar que cos(cdot) é limitada.

Passo 2

Isolamos f(x) subtraindo 1 de cada membro:
x^2 + x^63 ;<=; f(x) ;<=; secl(x^2r) - 1 + x^63
Agora usamos a expansão em série de sec y em torno de y=0:
sec y = 1 + tfracy^22 + O(y^4).
Tomando y = x^2 obtemos
secl(x^2r) - 1 = x^42 + O(x^8),
logo
f(x);<=;x^42 + x^63 + O(x^8)

Passo 3

Observe que, quando xto0, tanto
underbracex^2 + tfracx^63to0 ;<=;f(x);<=; underbracetfracx^42 + tfracx^63 + O(x^8)to0
Pelo Teorema do Confronto, segue que
limxto0f(x)=0

Passo 4

Sabemos que a função cosl(tfrac1x+x^2r) é sempre limitada entre -1 e 1. Logo, para todo x,
-,l|f(x)r|;<=;f(x),cosl(tfrac1x+x^2r);<=;l|f(x)r|
E como limxto0f(x)=0, temos também limxto0|f(x)|=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto de novo ao produto, concluímos que
limxto0l[f(x),cosl(tfrac1x+x^2r)r] ;=;0

Resposta

0

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