Questão 9. (Limites utilizando o gráfico da função) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas.
lim x -1^- f(x)=0, lim x -1^+ f(x)=1, f(1)=2, lim x 2 f(x)=3, f(-1)=2 e f(2)=1

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f que satisfaça essas condições de limite e valor pontual:
limxto -1^-f(x)=0, limxto -1^+f(x)=1, f(-1)=2, f(1)=2, limxto 2f(x)=3 e f(2)=1.
Para montar um exemplo simples, vamos usar segmentos horizontais e pontos isolados que geram as descontinuidades de salto exigidas.

Passo 2

Para garantir limxto -1^-f(x)=0, definimos
f(x)=0para x< -1
No esboço, desenhe uma reta horizontal em y=0 até x=-1, com um círculo aberto em l(-1,0r).

Passo 3

Em x=-1 a função vale 2, isto é,
f(-1)=2
Marque no gráfico um ponto cheio em l(-1,2r).

Passo 4

Para ter limxto -1^+f(x)=1 e deixar livre o comportamento em x=1, defina
f(x)=1para -1<x<1
No esboço, trace uma reta horizontal em y=1 de x=-1 até x=1, com círculos abertos em l(-1,1r) e em l(1,1r).

Passo 5

Em x=1 a função vale 2, ou seja,
f(1)=2
Desenhe um ponto cheio em l(1,2r).

Passo 6

Para atender limxto 2^-f(x)=3, escolha
f(x)=3para 1<x<2
No gráfico, faça uma reta horizontal em y=3 de x=1 até x=2, colocando círculos abertos em l(1,3r) e em l(2,3r).

Passo 7

Falta ainda limxto 2^+f(x)=3 e f(2)=1. Para isso:
f(2)=1, f(x)=3para x>2
No esboço, marque ponto cheio em l(2,1r) e continue horizontalmente a reta y=3 para x>2, com círculo aberto em l(2,3r).

Resposta

Um possível esboço de f é este:
– Para x< -1, f(x)=0 (reta em y=0 com círculo aberto em (-1,0)).
f(-1)=2 (ponto cheio em (-1,2)).
– Para -1<x<1, f(x)=1 (reta em y=1 com círculos abertos em (-1,1) e (1,1)).
f(1)=2 (ponto cheio em (1,2)).
– Para 1<x<2, f(x)=3 (reta em y=3 com círculos abertos em (1,3) e (2,3)).
f(2)=1 (ponto cheio em (2,1)).
– Para x>2, f(x)=3 (reta em y=3 com círculo aberto em (2,3)).

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