3.O movimento de um objeto sobre um plano é descrito pelas equaçōes das coordenadas em função do tempo:
\begin{gathered} x=5+6 t^{2}-0,8 t^{3} \\\ y=10+2,5 t-0,15 t^{2} \end{gathered}
(a)Determine as coordenadas do objeto e a distância em relação à origem no instante t=3,0 \mathrm{~s} .(b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de t=0,0 \mathrm{~s} a t=3,0 \mathrm{~s} .(c) Deduzir as expressōes para o vetor velocidade instantânea e o vetor aceleraçāo instantânea.(d)No instante t=3,0 \mathrm{~s} ,determine o módulo,direção e sentido da velocidade e da aceleração..

Passo 1

O enunciado descreve o movimento de um objeto num plano com as coordenadas em função do tempo dadas por
x(t)=5+6t^{2}-0{,}8t^{3},
y(t)=10+2{,}5t-0{,}15t^{2}.
O conteúdo aqui é cinemática vetorial: em (a) avaliaremos posição e distância à origem; em (b) definiremos vetor deslocamento e velocidade média; em (c) usaremos derivadas para obter vetor velocidade instantânea e vetor aceleração; em (d) avaliaremos as grandezas vetoriais num instante e extrairemos módulo, direção e sentido.

Passo 2

Para (a), basta substituir t=3{,}0 s nas expressões de x(t) e y(t):
x(3)=5+6\cdot3^{2}-0{,}8\cdot3^{3}=5+54-21{,}6=37{,}4,
y(3)=10+2{,}5\cdot3-0{,}15\cdot3^{2}=10+7{,}5-1{,}35=16{,}15.
A distância à origem é dada por \sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo
r(3)=\sqrt{37{,}4^{2}+16{,}15^{2}}\approx40{,}77\text{ unidades de comprimento.}

Passo 3

Em (b), o vetor deslocamento de t=0 a t=3 é
\Delta\vec r=\vec r(3)-\vec r(0)=(37{,}4,\,16{,}15)-(5,\,10)=(32{,}4,\,6{,}15).
A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo \Delta t=3 s:
\vec v_{\rm m}=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}=\bigl(10{,}8,\;2{,}05\bigr)\,\text{u.c./s.}

Passo 4

Para (c), a velocidade instantânea é a derivada de \vec r(t) e a aceleração instantânea é a derivada de \vec v(t). Assim,
\vec v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\bigl(12t-2{,}4t^{2},\;2{,}5-0{,}3t\bigr),
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\bigl(12-4{,}8t,\;-0{,}3\bigr).

Passo 5

Em (d), para t=3 s temos
\vec v(3)=\bigl(12\cdot3-2{,}4\cdot3^{2},\;2{,}5-0{,}3\cdot3\bigr) =(14{,}4,\;1{,}6),
|\vec v(3)|=\sqrt{14{,}4^{2}+1{,}6^{2}}\approx14{,}49\text{ u.c./s,}
a direção forma ângulo
\theta_v=\arctan\!\bigl(\tfrac{1{,}6}{14{,}4}\bigr)\approx6{,}34^\circ
acima do eixo x, sentido para o primeiro quadrante.
Para a aceleração
\vec a(3)=(12-4{,}8\cdot3,\;-0{,}3)=(-2{,}4,\;-0{,}3),
|\vec a(3)|=\sqrt{(-2{,}4)^{2}+(-0{,}3)^{2}}\approx2{,}42\text{ u.c./s}^2,
a direção faz ângulo
\theta_a=\arctan\!\bigl(\tfrac{-0{,}3}{-2{,}4}\bigr)\approx7{,}13^\circ
medido a partir do eixo x positivo, mas ambos componentes negativos indicam sentido para o terceiro quadrante.

Resposta

(a) \,(x,y)=(37{,}4,\,16{,}15), distância r\approx40{,}77.
(b) \Delta\vec r=(32{,}4,\,6{,}15), \vec v_{\rm m}=(10{,}8,\,2{,}05).
(c) \vec v(t)=(12t-2{,}4t^{2},\,2{,}5-0{,}3t), \vec a(t)=(12-4{,}8t,\,-0{,}3).
(d) \vec v(3)=(14{,}4,\,1{,}6), |\vec v(3)|\approx14{,}49, \theta_v\approx6{,}34^\circ (1.º quadrante); \vec a(3)=(-2{,}4,\,-0{,}3), |\vec a(3)|\approx2{,}42, \theta_a\approx187{,}13^\circ (3.º quadrante).

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