4.Um atleta lança uma pedra em un lago com uma velocidade inicial de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ,fazendo um ângulo de 53^{\circ} com a horizontal.Despreze a resistência do ar e considere g=10, \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} .(a)Calcule o tempo total de voo até a pedra atingir a água.(b)Qual é a distância horizontal total percorrida pela pedra (alcance)?(c)Determine a altura máxima atingida pela pedra.(d)Qual a velocidade(módulo e ângulo)da pedra no instante em que ela retorna ao nível da água?

Passo 1

O enunciado trata de lançamento oblíquo de uma pedra com velocidade inicial v_0=300\\ \mathrm{m/s} num ângulo de 53^\circ em relação à horizontal, desprezando-se resistência do ar e com aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^2}. Para resolver, vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente variado na direção vertical e o movimento uniforme na direção horizontal, decompondo a velocidade em componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em x e y:
v_{0x} = v_0\cos(53^\circ),\quad v_{0y} = v_0\sin(53^\circ).
Aproximamos \sin(53^\circ)=0,8 e \cos(53^\circ)=0,6, logo
v_{0x} = 300\cdot0,6 = 180\rm\\ m/s,\quad v_{0y} = 300\cdot0,8 = 240\rm\\ m/s.

Passo 3

O tempo total de voo até retornar ao mesmo nível vertical inicial é dado por
T = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{2\cdot240}{10} = 48\rm\\ s.

Passo 4

A distância horizontal (alcance) é
R = v_{0x}\,T = 180\cdot48 = 8640\rm\\ m.

Passo 5

A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade zera. Usa-se
H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{240^2}{2\cdot10} = \frac{57600}{20} = 2880\rm\\ m.

Passo 6

Na volta ao nível da água, a velocidade horizontal continua v_x=180\rm\\ m/s e a vertical vale v_y=-v_{0y}=-240\rm\\ m/s. O módulo da velocidade final é
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{180^2 + (-240)^2} = \sqrt{32400 + 57600} = 300\rm\\ m/s.
O ângulo \theta em relação à horizontal (abaixo) satisfaz
\tan\theta = \frac{|v_y|}{v_x} = \frac{240}{180} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\approx53^\circ,
isto é, a 53^\circ abaixo da horizontal.

Resposta

(a) 48\rm\\ s
(b) 8640\rm\\ m
(c) 2880\rm\\ m
(d) v=300\rm\\ m/s, formando 53^\circ abaixo da horizontal.

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