Calcule a temperatura onde ( a ) as escalas Celsius e Fahrenheit tem o mesmo valor numérico, (b) as escalas Kelvin e Fahrenheit tem o mesmo valor numérico, e (c) a escala Kelvin tem um valor numérico que é o dobro da escala Celsius. (d) Explique por que não existe uma temperatura em que as escalas Celsius e Kelvin tem o mesmo valor numérico.

Passo 1

O enunciado pede quatro situações envolvendo as escalas Celsius ( T_C), Fahrenheit ( T_F) e Kelvin ( T_K). Para resolver, usamos as relações de conversão:
T_F = \frac{9}{5}\,T_C + 32,
T_K = T_C + 273,15.
A partir daí, basta escrever a condição de igualdade ou proporção em cada item e resolver.

Passo 2

(a) Queremos T_C = T_F. Substituindo a primeira fórmula:
T_C = \frac{9}{5}\,T_C + 32.
Colocando todos os termos em T_C de um lado:
T_C - \frac{9}{5}\,T_C = 32 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{4}{5}\,T_C = 32 \quad\Longrightarrow\quad T_C = -\frac{5}{4}\times 32 = -40.
Logo a temperatura é -40^\circ\mathrm{C}, que coincide com -40^\circ\mathrm{F}.

Passo 3

(b) Queremos T_K = T_F numericamente. Usando as duas fórmulas:
T_C + 273,15 = \frac{9}{5}\,T_C + 32.
Reagrupando:
273,15 - 32 = \frac{9}{5}\,T_C - T_C \quad\Longrightarrow\quad 241,15 = \frac{4}{5}\,T_C \quad\Longrightarrow\quad T_C = \frac{241,15\times5}{4} = 301,4375\approx 301,44.
Então
T_C \approx 301,44^\circ\mathrm{C}, \quad T_K = T_C +273,15 \approx 574,59\\ \mathrm{K}, \quad T_F = 574,59^\circ\mathrm{F}.

Passo 4

(c) Queremos T_K = 2\,T_C. Da relação T_K = T_C + 273,15:
T_C + 273,15 = 2\,T_C \quad\Longrightarrow\quad 273,15 = T_C \quad\Longrightarrow\quad T_C = 273,15.
Logo
T_C = 273,15^\circ\mathrm{C}, \quad T_K = 546,30\\ \mathrm{K}.
(O valor em Fahrenheit seria T_F=\tfrac{9}{5}\cdot273,15+32\approx523,67^\circ\mathrm{F}.)

Passo 5

(d) Para T_C = T_K teríamos
T_C = T_C + 273,15 \quad\Longrightarrow\quad 273,15 = 0,
o que é impossível. Portanto não existe temperatura em que Celsius e Kelvin coincidam numericamente.

Resposta

(a) -40^\circ\mathrm{C} (que é também -40^\circ\mathrm{F}).
(b) \,T_C\approx301,44^\circ\mathrm{C}, com T_K=T_F\approx574,59.
(c) \,T_C=273,15^\circ\mathrm{C}, com T_K=546,30\\ \mathrm{K}.
(d) Não existe porque implicaria 273,15=0, impossibilidade.

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