Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando-se a regiăo entre a curva
, a curva
e a curva
, em torno de (não resolva a integral):
Eixo
.
Eixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada pela curva
, pela reta
e pela parábola
, considerando apenas
, em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar funções que representam os raios dos discos formados pela rotação.
Passo 2
Vamos identificar as funções envolvidas:
- A curva paramétrica
corresponde à reta , já que . - Temos também a reta
. - E a parábola
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações:
-
Interseção entre
e : Resolvendo a equação quadrática, encontramos(considerando ). -
Interseção entre
e : Resolvendo, encontramos(apenas a solução positiva é relevante).
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, sabemos que a região a ser girada está entre
e
. Dentro desse intervalo:
- De
a , a curva superior é e a inferior é . - De
a , a curva superior é e a inferior continua sendo .
Passo 5
Vamos calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume de um sólido de revolução em torno do eixo
é:
onde
é a função que está mais acima e
a que está mais abaixo no intervalo considerado.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, dividimos a integral em duas partes devido às diferentes curvas superiores:
- De
a : - De
a :
Resposta
O volume total do sólido de revolução é a soma das duas integrais: