Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando-se a regiăo entre a curva y=x, a curva y=12-x^2, com x >= 0 e a curva x, em torno de (não resolva a integral):
Eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada pela curva sigma(t) = (t^2, 4 t^2), pela reta y = x e pela parábola y = 12 - x^2, considerando apenas x >= 0, em torno do eixo x. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar funções que representam os raios dos discos formados pela rotação.

Passo 2

Vamos identificar as funções envolvidas:
  • A curva paramétrica sigma(t) = (t^2, 4 t^2) corresponde à reta y = 4x, já que y = 4t^2 = 4x.
  • Temos também a reta y = x.
  • E a parábola y = 12 - x^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações:
  1. Interseção entre y = x e y = 12 - x^2:
    x = 12 - x^2 Rightarrow x^2 + x - 12 = 0
    Resolvendo a equação quadrática, encontramos x = 3 (considerando x >= 0).
  2. Interseção entre y = 4x e y = 12 - x^2:
    4x = 12 - x^2 Rightarrow x^2 + 4x - 12 = 0
    Resolvendo, encontramos x = 2 (apenas a solução positiva é relevante).

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, sabemos que a região a ser girada está entre x = 0 e x = 3. Dentro desse intervalo:
  • De x = 0 a x = 2, a curva superior é y = 4x e a inferior é y = x.
  • De x = 2 a x = 3, a curva superior é y = 12 - x^2 e a inferior continua sendo y = x.

Passo 5

Vamos calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x é:
V = pi integrala^b [ f(x)^2 - g(x)^2 ] dx
onde f(x) é a função que está mais acima e g(x) a que está mais abaixo no intervalo considerado.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, dividimos a integral em duas partes devido às diferentes curvas superiores:
  1. De x = 0 a x = 2: V1 = pi integral0^2 [ (4x)^2 - (x)^2 ] dx
  2. De x = 2 a x = 3: V2 = pi integral2^3 [ (12 - x^2)^2 - (x)^2 ] dx

Resposta

O volume total do sólido de revolução é a soma das duas integrais:
V = V1 + V2 = pi integral0^2 (16x^2 - x^2) dx + pi integral2^3 ((12 - x^2)^2 - x^2) dx

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