Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
(y^{\prime}+2 t y=2 t e{-t{2}},)

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem: y' + 2t,y = 2t,e^-t^2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos p(t)=2t e q(t)=2t,e^-t^2. O fator integrante é dado por
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral 2t,dt=e^t^2

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t):
e^t^2y' + 2t,e^t^2y = 2t,e^t^2e^-t^2 = 2t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^t^2y, ou seja,
ddtl(e^t^2yr)=2t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^t^2y=integral 2t,dt = t^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y(t)=e^-t^2l(t^2 + Cr)

Resposta

y(t)=e^-t^2(t^2+C)

Exercícios relacionados