(3pts) Determine se f é continua em 0,1 e 2 . Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
f(x)= \begin{cases}1-x & \text { se } x<0 \\\ x^{2}+1 & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ -1 & \text { se } x=1 \\\\ 3-x & \text { se } 1<x<2 \\\ x-3 & \text { se } x \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x)= \begin{cases} 1 - x, & x<0,\\\ x^{2}+1, & 0 \le x<1,\\\\ -1, & x=1,\\\\ 3 - x, & 1<x<2,\\\ x - 3, & x\ge2 \end{cases}
nos pontos x=0, x=1 e x=2. Vamos usar a definição: f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a).

Passo 2

Em x=0:
– Para x<0, f(x)=1-x, logo \lim_{x\to0^-}f(x)=1-0=1.
– Para 0\le x<1, f(x)=x^2+1, logo \lim_{x\to0^+}f(x)=0^2+1=1.
– E f(0)=0^2+1=1.
Como \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=1, f é contínua em 0.

Passo 3

Em x=1:
– Para x<1, f(x)=x^2+1, então \lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2.
– Para x>1, f(x)=3-x, então \lim_{x\to1^+}f(x)=3-1=2.
– Mas f(1)=-1.
Aqui \lim_{x\to1^\pm}f(x)=2\neq f(1)=-1, logo f é descontínua em 1.

Passo 4

Em x=2:
– Para x<2, na região 1<x<2, f(x)=3-x, dá \lim_{x\to2^-}f(x)=3-2=1.
– Para x>2, em x\ge2, f(x)=x-3, dá \lim_{x\to2^+}f(x)=2-3=-1.
Como \lim_{x\to2^-}f(x)=1\neq -1=\lim_{x\to2^+}f(x), já temos descontinuidade em 2 (é um salto).

Resposta

f é contínua em 0 e descontínua em 1 e em 2.

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