(8pts) Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
Passo 1
O enunciado pede quatro limites à medida que
se aproxima de certos valores. Para cada caso vamos usar uma técnica adequada: racionalização de conjugado para o primeiro, manipulação algébrica (diferença de quadrados) para o segundo, fatoração de polinômio para o terceiro e o Teorema do Confronto (squeeze) para o quarto.
Passo 2
Para
observamos que o numerador se simplifica se multiplicarmos pelo conjugado
. Então
Agora basta tomar
:
Passo 3
Para
colocamos as frações sobre um mesmo denominador:
Dividindo por
dá
Tomando
resulta
Passo 4
Para
notamos que no denominador
e que o numerador anula em
. Fazendo a divisão de polinômios,
logo a expressão é
Quando
o numerador tende a
e o denominador a
, mudando de sinal ao passar de
. Assim o limite lateral pela direita é
e pela esquerda é
, logo não existe limite finito.
Passo 5
Para
note que
oscila entre
e
, logo
Multiplicando por
obtemos
Como
e
, o Teorema do Confronto dá