(8pts) Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
\begin{array}{ll} \lim _{x \rightarrow 4} \frac{2-\sqrt{x}}{4 x-x^{2}} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(5+x)^{2}}-\frac{1}{25}}{x} \\\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+3 x^{2}-8 x-4}{x^{2}-4 x+4} & \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \ln (\operatorname{sen}(1 / x)+5) \end{array}

Passo 1

O enunciado pede quatro limites à medida que x se aproxima de certos valores. Para cada caso vamos usar uma técnica adequada: racionalização de conjugado para o primeiro, manipulação algébrica (diferença de quadrados) para o segundo, fatoração de polinômio para o terceiro e o Teorema do Confronto (squeeze) para o quarto.

Passo 2

Para
\lim_{x\to 4} \frac{2-\sqrt{x}}{4x - x^{2}}
observamos que o numerador se simplifica se multiplicarmos pelo conjugado 2+\sqrt{x}. Então
\frac{2-\sqrt{x}}{4x-x^{2}} =\frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{(4x-x^{2})(2+\sqrt{x})} =\frac{4-x}{x(4-x)\,(2+\sqrt{x})} =\frac{1}{x(2+\sqrt{x})}.
Agora basta tomar x\to 4:
\lim_{x\to4}\frac{1}{x(2+\sqrt{x})} =\frac{1}{4\,(2+2)} =\frac{1}{16}.

Passo 3

Para
\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{(5+x)^{2}}-\frac{1}{25}}{x}
colocamos as frações sobre um mesmo denominador:
\frac{1}{(5+x)^{2}}-\frac{1}{25} =\frac{25-(5+x)^{2}}{25\,(5+x)^{2}} =\frac{-10x - x^{2}}{25\,(5+x)^{2}}.
Dividindo por x
\frac{-10x - x^{2}}{x\;25\,(5+x)^{2}} =\frac{-10 - x}{25\,(5+x)^{2}}.
Tomando x\to0 resulta
\lim_{x\to0}\frac{-10 - x}{25\,(5+x)^{2}} =\frac{-10}{25\cdot 5^{2}} =\frac{-10}{625} =-\frac{2}{125}.

Passo 4

Para
\lim_{x\to2}\frac{x^{3}+3x^{2}-8x-4}{x^{2}-4x+4}
notamos que no denominador x^{2}-4x+4=(x-2)^{2} e que o numerador anula em x=2. Fazendo a divisão de polinômios,
x^{3}+3x^{2}-8x-4=(x-2)\,(x^{2}+5x+2),
logo a expressão é
\frac{(x-2)(x^{2}+5x+2)}{(x-2)^{2}} =\frac{x^{2}+5x+2}{x-2}.
Quando x\to2 o numerador tende a 16 e o denominador a 0, mudando de sinal ao passar de 2. Assim o limite lateral pela direita é +\infty e pela esquerda é -\infty, logo não existe limite finito.

Passo 5

Para
\lim_{x\to0}x^{2}\,\ln\bigl(\operatorname{sen}(1/x)+5\bigr)
note que \operatorname{sen}(1/x) oscila entre -1 e 1, logo
4 \le \operatorname{sen}(1/x)+5 \le 6 \quad\Longrightarrow\quad \ln(4)\le \ln(\operatorname{sen}(1/x)+5)\le \ln(6).
Multiplicando por x^{2}\ge0 obtemos
x^{2}\ln(4)\le x^{2}\ln\bigl(\operatorname{sen}(1/x)+5\bigr)\le x^{2}\ln(6).
Como \lim_{x\to0}x^{2}\ln(4)=0 e \lim_{x\to0}x^{2}\ln(6)=0, o Teorema do Confronto dá
\lim_{x\to0}x^{2}\ln\bigl(\operatorname{sen}(1/x)+5\bigr)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16},\; -\tfrac{2}{125},\;\text{não existe},\;0ã.

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