Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é resolução de ODE homogênea: escrever como função de
, usar a substituição
, separar variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.
O conteúdo aqui é resolução de ODE homogênea: escrever
Passo 2
Vamos isolar
. Primeiro, trazemos todos os termos para um lado:
Dividindo por
e por
obtemos
Passo 3
Reconhecemos que a RHS depende só de
, ou seja, é uma ODE homogênea. Fazemos
Substituindo na equação:
Passo 4
Separamos variáveis em
e
:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
e rearranjando, definimos uma nova constante
:
Passo 5
Voltando a
e
, como
, temos
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Para
e
:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
escolhendo o sinal positivo para satisfazer
.