Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}y^{3} d x=2 x^{3} d y-2 x^{2} y d x \\\ y(1)=\sqrt{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{3}\,dx = 2x^{3}\,dy - 2x^{2}y\,dx
com condição inicial y(1)=\sqrt{2}.
O conteúdo aqui é resolução de ODE homogênea: escrever dy/dx como função de y/x, usar a substituição y=vx, separar variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Vamos isolar dy/dx. Primeiro, trazemos todos os termos para um lado:
y^{3}\,dx + 2x^{2}y\,dx - 2x^{3}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y^{3} + 2x^{2}y)\,dx = 2x^{3}\,dy.
Dividindo por dx e por 2x^{3} obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{3} + 2x^{2}y}{2x^{3}} = \frac{y}{x} + \tfrac{1}{2}\biggl(\frac{y}{x}\biggr)^{3}.

Passo 3

Reconhecemos que a RHS depende só de y/x, ou seja, é uma ODE homogênea. Fazemos
y = v x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação:
v + x\frac{dv}{dx} = v + \tfrac12\,v^{3} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} = \tfrac12\,v^{3}.

Passo 4

Separamos variáveis em v e x:
\frac{dv}{v^{3}} = \tfrac12\,\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int v^{-3}\,dv = \int \tfrac12\,\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac1{2v^{2}} = \tfrac12\ln|x| + C.
Multiplicando por -2 e rearranjando, definimos uma nova constante K:
\frac{1}{v^{2}} = K - \ln|x|.

Passo 5

Voltando a y e x, como v = y/x, temos
\frac{1}{(y/x)^{2}} = \frac{x^{2}}{y^{2}} = K - \ln|x| \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{x^{2}}{\,K - \ln|x|\,}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=\sqrt{2}. Para x=1 e y^{2}(1)=2:
2 = \frac{1^{2}}{\,K - \ln 1\,} = \frac{1}{K - 0} \quad\Longrightarrow\quad K = \tfrac12.

Passo 7

Substituindo K=\tfrac12 na expressão de y^{2}:
y^{2} = \frac{x^{2}}{\tfrac12 - \ln|x|} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{\sqrt{\tfrac12 - \ln|x|}},
escolhendo o sinal positivo para satisfazer y(1)=\sqrt2.

Resposta

y(x) = \frac{x}{\sqrt{\tfrac12 - \ln x}},\quad x>0.

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