Considere um elétron em um átomo de hidrogênio descrito pelos números quânticos \mathrm{n}=2 \mathrm{e} \mathrm{l}=1. Encontre a probabilidade de encontrar o elétron em uma casca esférica entre a_{0} e 2 a_{0}, onde a_{0} é o raio de Bohr.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de encontrar um elétron no átomo de hidrogênio com números quânticos n=2 e l=1 em uma casca esférica entre r=a_{0} e r=2a_{0}. O conteúdo aqui é função de onda radial e densidade de probabilidade radial. Para resolver, precisamos da forma de R_{21}(r), do conceito de densidade radial \mathcal{P}(r)\,dr=|R_{21}(r)|^{2}r^{2}dr e então calcular a integral entre r=a_{0} e r=2a_{0}.

Passo 2

A parte radial da função de onda para n=2 e l=1 é dada por
R_{21}(r) = \frac{1}{2\sqrt{6}\,a_{0}^{3/2}}\;\biggl(\frac{r}{a_{0}}\biggr)\;e^{-r/(2a_{0})}.
Isso vem da forma geral
\displaystyle R_{n\ell}(r)=N_{n\ell}\,\rho^{\ell}e^{-\rho/2}L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho)
com \rho=r/a_{0} e L_{0}^{3}(\rho)=1.

Passo 3

A densidade de probabilidade radial é
\mathcal{P}(r)\,dr = |R_{21}(r)|^{2}\;r^{2}\,dr.
Substituindo R_{21}(r) obtemos
\mathcal{P}(r)\,dr = \frac{1}{24\,a_{0}^{5}}\;r^{4}\;e^{-r/a_{0}}\;dr.

Passo 4

A probabilidade de r estar entre a_{0} e 2a_{0} é
P = \int_{a_{0}}^{2a_{0}}\mathcal{P}(r)\,dr = \frac{1}{24\,a_{0}^{5}}\int_{a_{0}}^{2a_{0}}r^{4}e^{-r/a_{0}}\,dr.

Passo 5

Fazemos a troca de variável \rho = r/a_{0}, de modo que r = a_{0}\rho e dr = a_{0}\,d\rho. A integral vira
P = \frac{1}{24}\int_{1}^{2}\rho^{4}e^{-\rho}\,d\rho.

Passo 6

Usamos a relação
\int_{1}^{2}\rho^{4}e^{-\rho}\,d\rho = 4!\Bigl[e^{-1}\sum_{k=0}^{4}\frac{1^{k}}{k!}\;-\;e^{-2}\sum_{k=0}^{4}\frac{2^{k}}{k!}\Bigr].
Como 4!=24,
\sum_{k=0}^{4}1^{k}/k!=65/24 e \sum_{k=0}^{4}2^{k}/k!=7, temos
\int_{1}^{2}\rho^{4}e^{-\rho}\,d\rho =24\Bigl(\tfrac{65}{24}e^{-1}-7e^{-2}\Bigr) =65e^{-1}-168e^{-2}.
Logo
P = \frac{1}{24}\bigl(65e^{-1}-168e^{-2}\bigr) = \frac{65}{24}e^{-1}-7e^{-2}.

Passo 7

Para obter valor numérico usamos e^{-1}\approx0,3679 e e^{-2}\approx0,1353:
P \approx \frac{65}{24}\times0,3679 \;-\;7\times0,1353 \approx 0,9966-0,9471 \approx 0,0495.

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre r=a_{0} e r=2a_{0} é
P = \frac{65}{24}e^{-1}-7e^{-2}\approx0,0495\;(4{,}95\%).

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