a) Em um circuito L C oscilante, qual a carga do capacitor, em termos da carga máxima Q, quando a energia do campo elétrico é um terço da energia do campo magnético? Quantas vezes essa situação ocorre dentro de um período completo de oscilação?
b) Considerando que no instante inicial o capacitor está totalmente carregado, que fração do período deve transcorrer, após o instante inicial, para que a situação do item a) aconteça? Se essa situação ocorrer mais de uma vez dentro de um período, encontre a fração do período para todas elas.
c) Esboce o gráfico de U_{e} / U_{t} versus t / T, onde U_{e} é a energia do capacitor, U_{t} é a energia total e T é o período, considerando que para t=0 o capacitor estava totalmente carregado. Identifique no gráfico o(s) ponto(s) referente(s) à situação do item a).

Passo 1

O enunciado trata de um circuito oscilante LC sem amortecimento, em que a carga no capacitor varia segundo
q(t)=Q\cos(\omega t),
sendo Q a carga máxima, e as energias nos campos elétrico e magnético são
U_{e}=\frac{q^2}{2C}, \quad U_{m}=\frac{1}{2}L\,i^2,
com energia total constante
U_{t}=U_{e}+U_{m}=\frac{Q^2}{2C}.
Precisamos:
a) achar q em função de Q quando U_{e}=\tfrac{1}{3}U_{m} e quantas vezes isso ocorre por período;
b) dado q(0)=Q, determinar as frações de período até essas instâncias;
c) esboçar U_{e}/U_{t} versus t/T e indicar esses pontos.

Passo 2

Para a situação U_{e}=\tfrac{1}{3}U_{m} usamos
U_{e}=\frac{q^2}{2C}, \quad U_{m}=U_{t}-U_{e} =\frac{Q^2}{2C}-\frac{q^2}{2C} =\frac{Q^2-q^2}{2C}.
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\frac{q^2}{2C}=\frac{1}{3}\,\frac{Q^2-q^2}{2C} \;\Longrightarrow\; q^2=\frac{1}{3}\,(Q^2-q^2) \;\Longrightarrow\; 4q^2=Q^2 \;\Longrightarrow\; q=\pm\frac{Q}{2}.
Para contar quantas vezes por período basta resolver \cos(\omega t)=\pm\frac12. Em 0\le\omega t<2\pi há 4 soluções:
\omega t=\pi/3,\;2\pi/3,\;4\pi/3,\;5\pi/3. Portanto são 4 instantes por oscilação completa.

Passo 3

Como T=2\pi/\omega, cada instante dá
\frac{t}{T}=\frac{\omega t}{2\pi} \quad\Rightarrow\quad \frac{t}{T}\in\Bigl\{\tfrac{\pi/3}{2\pi},\;\tfrac{2\pi/3}{2\pi},\;\tfrac{4\pi/3}{2\pi},\;\tfrac{5\pi/3}{2\pi}\Bigr\} =\Bigl\{\tfrac16,\;\tfrac13,\;\tfrac23,\;\tfrac56\Bigr\}.
Essas são as frações de período após t=0 em que U_{e}=\tfrac13U_{m}.

Passo 4

O gráfico de
\frac{U_{e}}{U_{t}}=\frac{q^2/(2C)}{Q^2/(2C)}=\cos^2(\omega t)
em função de t/T é simplesmente a curva \cos^2(2\pi\,t/T) entre 0 e 1. Ela oscila entre 1 (em t/T=0,1) e 0 (em t/T=1/4,3/4). A reta horizontal \frac{U_{e}}{U_{t}}=\tfrac14 intercepta essa curva exatamente nos pontos
t/T=\tfrac16,\;\tfrac13,\;\tfrac23,\;\tfrac56,
os quais correspondem à situação do item a).

Resposta

a) q=\pm\frac{Q}{2}. Essa condição ocorre 4 vezes em cada período.
b) As frações de período são
\frac{t}{T}=\tfrac16,\;\tfrac13,\;\tfrac23,\;\tfrac56.
c) U_{e}/U_{t}=\cos^2(2\pi\,t/T), atinge \tfrac14 em t/T=1/6,\,1/3,\,2/3,\,5/6, conforme marcado no esboço.

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