5.Uma aplicação gráfica usa vetores para representar movimentos em um ambiente 3D.O vetor de movimento total foi m=(6,5,4) ,e a base do sistema de movimentação é:
v1=(2,1,0), v2=(1,1,1), v3=(0,1,2)
Determine as coordenadas do vetor de movimento na base usada pelo sistema.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor de movimento
m=(6,5,4)
como combinação linear das “base”
v1=(2,1,0), v2=(1,1,1), v3=(0,1,2).
O conteúdo é resolver um sistema linear
c1v1 + c2v2 + c3v3 = m
para encontrar as coordenadas (c1,c2,c3).

Passo 2

Escrevendo a combinação nas componentes, obtemos o sistema
2,c1 + 1,c2 + 0,c3 = 6, 1,c1 + 1,c2 + 1,c3 = 5, 0,c1 + 1,c2 + 2,c3 = 4

Passo 3

Da primeira equação tiramos
c2 = 6 - 2,c1
Da terceira equação tiramos
c2 = 4 - 2,c3
Igualando essas duas expressões de c2:
6 - 2,c1 = 4 - 2,c3 Longrightarrow -2,c1 + 2,c3 = -2 Longrightarrow c3 = c1 - 1

Passo 4

Substituindo c2=6-2,c1 e c3=c1-1 na segunda equação, verifica-se que ela fica 5=5, ou seja, é redundante. Logo o sistema tem infinitas soluções, pois
(c1,c2,c3) = l(t,;6-2,t,;t-1r), tinR
Em particular, escolhendo t=1, obtemos
(c1,c2,c3) = (1,4,0)

Resposta

(c1,c2,c3) = l(t,;6-2,t,;t-1r),;tinR
Por exemplo, para t=1 as coordenadas são (1,4,0).

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