3.Use a integral dupla para determinar a área da região D desenhada pela equação polar r=raiztheta

Passo 1

O enunciado pede a área da região D “desenhada” pela curva polar
r = raiztheta,
Porém, esta curva é a espiral de Arquimedes (aqui modificada) e não fecha sozinha: para cada theta temos um ponto diferente e não há um contorno fechado a menos que se imponham limites em theta. Para usar integral dupla em coordenadas polares e obter um valor numérico, precisamos saber de theta=theta1 até theta=theta2.

Passo 2

Supondo que venham dados esses limites angulares theta1 e theta2, a área de D em polares é
A=integral duplaDdA =integraltheta1^theta2!integral0^r(theta)r,dr,dtheta =integraltheta1^theta2!integral0^raizthetar,dr,dtheta,

Passo 3

Calculemos a integral interna em r:
integral0^raizthetar,dr =12,r^2|0^raiztheta =12,l(raizthetar)^2 =theta2,

Passo 4

Substituindo na integral externa em theta:
A =integraltheta1^theta2theta2,dtheta =12,theta^22|theta1^theta2 =theta2^2-theta1^24,

Resposta

Sem os valores de theta1 e theta2 não há como calcular um número para a área, pois a espiral não delimita uma região fechada por si só. Se vierem dados esses limites, a área fica
A=theta2^2-theta1^24,

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