Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
L^-1ss^3-11 s^2+36 s-36

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a transformada inversa de Laplace da seguinte expressão:
L^-1ss^3-11 s^2+36 s-36
Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil pra resolver equações diferenciais. Pra resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador, usar frações parciais e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. Precisamos encontrar as raízes do polinômio cúbico:
s^3 - 11 s^2 + 36 s - 36 = 0
Vamos tentar descobrir se tem algum fator racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando s = 1:
1 - 11 + 36 - 36 = -10 neq 0
Testando s = 2:
8 - 44 + 72 - 36 = 0
Então, (s - 2) é um fator. Agora, vamos dividir o polinômio por (s - 2):
s^3 -11 s^2 +36 s -36 = (s - 2)(s^2 -9 s +18)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
s^2 -9 s +18 = 0
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes:
s = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm 32 Rightarrow s = 6 e s = 3
Então, o denominador fatora em:
(s - 2)(s - 3)(s - 6)

Passo 3

Agora que temos a fatoração, podemos reescrever a fração original usando frações parciais. Queremos expressar:
s(s - 2)(s - 3)(s - 6) = As - 2 + Bs - 3 + Cs - 6
Multiplicando ambos os lados por (s - 2)(s - 3)(s - 6), temos:
s = A(s - 3)(s - 6) + B(s - 2)(s - 6) + C(s - 2)(s - 3)
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C escolhendo valores estratégicos para s:
  • Para s = 2:
2 = A(2 - 3)(2 - 6) Rightarrow 2 = A(-1)(-4) Rightarrow 2 = 4A Rightarrow A = 12
  • Para s = 3:
3 = B(3 - 2)(3 - 6) Rightarrow 3 = B(1)(-3) Rightarrow 3 = -3B Rightarrow B = -1
  • Para s = 6:
6 = C(6 - 2)(6 - 3) Rightarrow 6 = C(4)(3) Rightarrow 6 = 12C Rightarrow C = 12
Portanto, temos:
s(s - 2)(s - 3)(s - 6) = 1/2s - 2 - 1s - 3 + 1/2s - 6

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso:
  • Para 1/2s - 2:
L^-11/2s - 2 = 12 e^2 t
  • Para -1s - 3:
L^-1-1s - 3 = -e^3 t
  • Para 1/2s - 6:
L^-11/2s - 6 = 12 e^6 t

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de Laplace solicitada é:
L^-1ss^3-11 s^2+36 s-36 = 12 e^2 t - e^3 t + 12 e^6 t

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