Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a transformada inversa de Laplace da seguinte expressão:
Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil pra resolver equações diferenciais. Pra resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador, usar frações parciais e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. Precisamos encontrar as raízes do polinômio cúbico:
Vamos tentar descobrir se tem algum fator racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando s = 1:
Testando s = 2:
Então, (s - 2) é um fator. Agora, vamos dividir o polinômio por (s - 2):
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, o denominador fatora em:
Passo 3
Agora que temos a fatoração, podemos reescrever a fração original usando frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C escolhendo valores estratégicos para s:
- Para s = 2:
- Para s = 3:
- Para s = 6:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa de Laplace solicitada é: