[4,0] Resolva as equações abaixo:
(x+y) d y-y d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem (x+y),dy - y,dx = 0. O conteúdo principal aqui é transformar essa equação em uma equação linear em x como função de y e usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear em x(y). Primeiro isolamos dx/dy:
(x+y),dy - y,dx = 0
que é o mesmo que
-y,dxdy + (x+y) = 0
ou ainda
dxdy - xy = 1
Observação: aqui assumimos yneq0.

Passo 3

Agora identificamos que essa é uma equação linear em x com coeficientes em função de y. A forma padrão é
dxdy + P(y),x = Q(y)
com P(y) = -1/y e Q(y)=1. O fator integrante vale
mu(y) = e^integral P(y),dy = e^-integral 1ydy = e^-ln|y| = 1y

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(y)=1/y e vemos que o lado esquerdo vira derivada de x/y:
1ydxdy - 1y^2x = 1y
ou seja
ddyl(xyr) = 1y
Integrando em relação a y:
xy = integral 1ydy = ln|y| + C,
onde C é constante de integração. Por fim, isolamos x.

Resposta

A solução geral é x = yln|y| + C,y, com C constante arbitrária.

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