Derive.
z=w^3 / 2(w+c e^w)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
z = w^32l(w + c,e^wr)
em relação a w.
Vamos usar a regra do produto para duas funções
f(w)=w^32 e g(w)=w + c,e^w,
além da regra da potência para w^3/2 e da derivada do exponencial para e^w.

Passo 2

Calcular a derivada de
f(w)=w^32
Pela regra da potência,
f'(w)=32,w^32-1 =32,w^12

Passo 3

Calcular a derivada de
g(w)=w + c,e^w
É soma de funções lineares e exponenciais, logo
g'(w)=1 + c,e^w

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
dzdw = f'(w),g(w) + f(w),g'(w)
Substituindo f, f', g e g', obtemos
dzdw =32,w^12l(w + c,e^wr) + w^32l(1 + c,e^wr)

Passo 5

Para limpar um pouco, podemos fatorar w^tfrac12:
dzdw = w^12l[tfrac32l(w + c,e^wr) + wl(1 + c,e^wr)r]

Resposta

dzdw =32,w^12l(w + c,e^wr) + w^32l(1 + c,e^wr)

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