Exercício 18: Resolva as equações exponenciais:
raiz5^x-2 cdot raiz25^2 x-5-raiz[2 x]5^3 x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
raiz5^x-2;cdot;raiz25^2x-5;-;raiz[2x]5^3x-2;=;0
O conteúdo principal aqui são as leis de potência e radiciação: vamos reescrever cada raiz como potência de expoente racional e depois igualar expoentes.

Passo 2

Reescrevendo as raízes de índice 2 como potências de expoente 1/2:
raiz5^x-2=(5^x-2)^tfrac12=5^tfracx-22,
raiz25^2x-5=(25^2x-5)^tfrac12=(5^2)^tfrac2x-52=5^2x-5

Passo 3

O produto das duas potências de base 5 soma os expoentes:
5^tfracx-22;cdot;5^2x-5 =5^tfracx-22 + (2x-5) =5^tfracx-2 +4x-102 =5^tfrac5x-122

Passo 4

Agora a raiz de índice 2x vira potência de expoente 1/(2x):
raiz[2x]5^3x-2=(5^3x-2)^tfrac12x =5^tfrac3x-22x
A equação fica
5^tfrac5x-122 ;-; 5^tfrac3x-22x =0 Longrightarrow 5^tfrac5x-122 =5^tfrac3x-22x

Passo 5

Como 5>0 e 5neq1, igualamos os expoentes:
tfrac5x-122 ;=;tfrac3x-22x
Multiplicando ambos os lados por 2x:
x(5x-12)=3x-2 ;Longrightarrow; 5x^2-12x=3x-2 ;Longrightarrow; 5x^2-15x+2=0

Passo 6

Resolvendo a quadrática:
x=15pmraiz15^2-4cdot5cdot22cdot5 =15pmraiz225-4010 =15pmraiz18510
Como a raiz raiz[2x]cdot exige 2x>0, temos x>0. Ambas as soluções
tfrac15pmraiz18510
são positivas, logo válidas.

Resposta

x=15+raiz18510 ou x=15-raiz18510

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