[4,0] Resolva as equações abaixo:
(e^y+x-2 x y) d x+(x e^y+y-x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(e^y+x-2xyr),dx ;+;l(xe^y+y-x^2r),dy ;=;0
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Exatas. Vamos testar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que dphi=M,dx+N,dy.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=e^y+x-2xy, N(x,y)=x e^y+y-x^2
Calculamos
partial Mpartial y=e^y-2x, partial Npartial x=e^y-2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em x, mantendo y como constante:
phi(x,y)=integrall(e^y+x-2xyr),dx = x e^y+x^22-x^2y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
phiy =partialpartial yl(x e^y+x^22-x^2y+h(y)r) = x e^y-x^2+h'(y)
deve ser igual a
N(x,y)=x e^y+y-x^2
Logo
x e^y-x^2+h'(y)=x e^y+y-x^2 Longrightarrow h'(y)=y

Passo 5

Integramos h'(y)=y:
h(y)=integral y,dy=y^22

Passo 6

Substituindo h(y) em phi, obtemos a função potencial completa:
phi(x,y) = x e^y+x^22-x^2y+y^22
A solução geral implícita da equação diferencial é
phi(x,y)=C,
isto é,
x e^y+x^22-x^2y+y^22=C

Resposta

x e^y+x^22-x^2y+y^22=C

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