Exercício 18: Resolva as equações exponenciais:
3^x+2.9 x243^x x+1=8^12 x27^3-4 x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação exponencial
3^x+2,9x243^x^2+1 = 8^12x27^3-4x
O conteúdo envolve propriedades de potências e logaritmos; vamos reescrever todas as bases como potências de 2 e 3, simplificar expoentes e, por fim, tomar logaritmos.

Passo 2

Observe que
243 = 3^5, 27 = 3^3, 8 = 2^3
Logo,
243^x^2+1 = l(3^5r)^x^2+1 = 3^5(x^2+1), 27^3-4x = l(3^3r)^3-4x = 3^9-12x, 8^12x = l(2^3r)^12x = 2^36x

Passo 3

Substituindo na equação original,
3^x+2,9x3^5(x^2+1) = 2^36x3^9-12x
No lado esquerdo combine x+2,9x=3,9x e no denominador distribua o 5:
3^3,9x3^5x^2+5 =3^3,9x - (5x^2+5) =3^3,9x -5x^2 -5
No lado direito a fração vira
2^36x,l(3^9-12xr)^-1 =2^36x,3^-9+12x
Portanto a equação é
3^3,9x -5x^2 -5 = 2^36x,3^-9+12x

Passo 4

Para isolar a potência de 3, divida ambos os lados por 3^-9+12x:
3^3,9x -5x^2 -5 -(-9+12x) = 2^36x
O expoente de 3 fica
3,9x -5x^2 -5 +9 -12x = -5x^2 +(3,9-12)x +4 = -5x^2 -8,1x +4
Logo
3^-5x^2 -8,1x +4 = 2^36x

Passo 5

Aplique logaritmo natural em ambos os lados:
(-5x^2 -8,1x +4)ln 3 = 36x,ln 2
Reorganizando para formar uma equação quadrática em x:
-5ln3,x^2 +(-8,1ln3 -36ln2),x +4ln3 = 0
Multiplicando por -1:
5ln3,x^2 +(8,1ln3 +36ln2),x -4ln3 = 0

Passo 6

Na forma Ax^2+Bx+C=0 temos
A = 5ln3, B = 8,1ln3 +36ln2, C = -4ln3
Pela fórmula de Bhaskara,
x = -B pm raizB^2 - 4AC2A
Usando ln2approx0,6931 e ln3approx1,0986, obtemos
Aapprox5,4931,;Bapprox33,8485,;Capprox-4,3944, De<a = B^2 -4ACapprox1242,39,;raizDe<aapprox35,25
Assim
x = -33,8485pm35,252cdot5,4931 = -33,8485pm35,2510,9862,
o que leva às soluções aproximadas
x1approx0,128, x2approx-6,290

Resposta

xapprox0,128 ou
xapprox-6,290 .

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