[4] Em certo município A, X: Número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer, tem distribuição de Poisson com média 3.5 por mês. (i) Escreva a tabela dos pares de pontos (x, p(x)) e faça o gráfico da Distribuição de Probabilidade, para x: 0,1, ldots, 10 casos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem aqui um problema de Distribuição de Poisson, que é usada para contar quantos eventos acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. No caso, estamos falando do número de novos casos de Alzheimer por mês em um município. A média (λ) dessa distribuição é 3,5 casos por mês. Nosso objetivo é montar uma tabela com os valores de $ x $ (número de casos) de 0 a 10 e calcular a probabilidade $ p(x) $ de cada um desses casos acontecerem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição de Poisson:
p(x) = e^-lambda lambda^xx!
onde:
  • $ \lambda $ é a média de ocorrências (neste caso, 3,5),
  • $ x $ é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade,
  • $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828,
  • $ x! $ é o fatorial de $ x $.

Passo 3

Vamos calcular $ p(x) $ para cada $ x $ de 0 a 10 usando a fórmula acima. Vou te mostrar como calcular para alguns valores e você pode seguir o mesmo processo para os demais.
Exemplo para $ x = 0 $:
p(x)
Exemplo para $ x = 1 $:
x

Passo 4

Continuando com os cálculos:
p(2) = e^-3,5 times 3,5^22! = 0,0302 times 12,252 approx 0,1859
p(3) = e^-3,5 times 3,5^33! = 0,0302 times 42,8756 approx 0,2158
p(4) = e^-3,5 times 3,5^44! = 0,0302 times 150,062524 approx 0,1888
E assim por diante, até $ x = 10 $.

Passo 5

Agora, vamos montar a tabela com todos os valores calculados:
$ x $ $ p(x) $
0 0,0302
1 0,1057
2 0,1859
3 0,2158
4 0,1888
5 0,1322
6 0,0774
7 0,0386
8 0,0169
9 0,0066
10 0,0023

Passo 6

Para o gráfico da Distribuição de Probabilidade, você pode usar um software como Excel, Google Sheets ou até mesmo desenhar à mão. No eixo horizontal (x) coloque os valores de 0 a 10 e no eixo vertical (p(x)) as probabilidades correspondentes. Cada par (x, p(x)) será um ponto no gráfico, e você pode conectar esses pontos com barras ou linhas para visualizar como as probabilidades variam com o número de casos.

Resposta

Montamos a tabela dos pares (x, p(x)) para $ x = 0 $ a $ 10 $ casos com a distribuição de Poisson de média 3,5:
$ x $ $ p(x) $
0 0,0302
1 0,1057
2 0,1859
3 0,2158
4 0,1888
5 0,1322
6 0,0774
7 0,0386
8 0,0169
9 0,0066
10 0,0023
Para visualizar a Distribuição de Probabilidade, você pode plotar esses valores em um gráfico de barras ou linhas, onde o eixo X representa o número de casos ( x = 0 ) e o eixo Y representa a probabilidade ( 10 ) correspondente a cada x .

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