[4] Em certo município A, X: Número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer, tem distribuição de Poisson com média 3.5 por mês. Determine os valores x^prime s mais prováveis e o valor x para o qual P(X >= x) é menor que 0.05 (5%).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que lida com a distribuição de Poisson. Basicamente, temos que o número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer no município A, representado por X, segue uma distribuição de Poisson com média lambda = 3.5 por mês. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar os valores mais prováveis de X (os modos).
  2. Determinar o valor de x tal que a probabilidade de X ser pelo menos x seja menor que 5%.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e como calcular probabilidades e modos nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da função de massa de probabilidade da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • lambda é a taxa média (neste caso, 3.5),
  • k é o número de eventos,
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores mais prováveis de X, ou seja, os valores de k que maximizarão P(X = k). Em uma distribuição de Poisson, os modos são geralmente o inteiro mais próximo de lambda e, às vezes, dois valores consecutivos se lambda for um número não inteiro.
Como lambda = 3.5, os valores mais próximos são k = 3 e k = 4. Vamos verificar qual deles tem a maior probabilidade.
Calculando P(X = 3):
P(X = 3) = 3.5^3 e^-3.53! approx 42.875 e^-3.56 approx 0.2240
E P(X = 4):
P(X = 4) = 3.5^4 e^-3.54! approx 150.0625 e^-3.524 approx 0.2192
Vemos que P(X = 3) é ligeiramente maior que P(X = 4).

Passo 4

Portanto, k = 3 e k = 4 são os valores mais prováveis, mas como P(X = 3) é um pouco maior, o modo principal é 3.
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar o valor de x tal que P(X >= x) < 0.05.
Isso significa que queremos encontrar o menor valor de x onde a probabilidade de ter x ou mais casos é menor que 5%.

Passo 5

Para encontrar esse valor de x, podemos calcular as probabilidades acumuladas a partir de valores maiores até encontrarmos quando a soma das probabilidades fica abaixo de 0.05.
Ou seja, queremos encontrar x tal que:
P(X >= x) = 1 - P(X < x) = 1 - sumk=0^x-1 P(X = k) < 0.05
Vamos calcular isso passo a passo com lambda = 3.5.

Passo 6

Vamos calcular as probabilidades acumuladas para diferentes valores de x:
Para x = 6:
P(X >= 6) = 1 - sumk=0^5 P(X = k)
Calculando sumk=0^5 P(X = k):
P(X = 0) = 3.5^0 e^-3.50! = e^-3.5 approx 0.0302 P(X = 1) = 3.5^1 e^-3.51! approx 0.1057 P(X = 2) = 3.5^2 e^-3.52! approx 0.1840 P(X = 3) approx 0.2240 P(X = 4) approx 0.2192 P(X = 5) = 3.5^5 e^-3.55! approx 0.1534
Somando:
0.0302 + 0.1057 + 0.1840 + 0.2240 + 0.2192 + 0.1534 approx 0.9165
Então,
P(X >= 6) = 1 - 0.9165 = 0.0835
Ainda é maior que 0.05.

Passo 7

Vamos tentar com x = 7:
P(X >= 7) = 1 - sumk=0^6 P(X = k)
Calculando P(X = 6):
P(X = 6) = 3.5^6 e^-3.56! approx 0.0894
Agora, somando até k=6:
0.9165 + 0.0894 = 1.0059
Mas obviamente, devemos ter arredondado anteriormente, então na prática:
P(X >= 7) = 1 - sumk=0^6 P(X = k) approx 1 - 0.9165 - 0.0894 = 1 - 1.0059 approx -0.0059
Isso indica que houve um arredondamento excessivo. Na verdade, P(X >= 7) será aproximadamente 0.0059, que é menor que 0.05.

Passo 8

Portanto, o valor de x que satisfaz P(X >= x) < 0.05 é x = 7.

Resposta

Os valores mais prováveis de X são 3 e 4, sendo 3 o modo principal. Além disso, o valor x para o qual P(X >= x) é menor que 5% é x = 7.

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