[4] Em certo município A,
: Número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer, tem distribuição de Poisson com média 3.5 por mês. Determine os valores
s mais prováveis e o valor x para o qual
é menor que 0.05 (5%).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que lida com a distribuição de Poisson. Basicamente, temos que o número mensal de novos casos diagnosticados da doença de Alzheimer no município A, representado por
, segue uma distribuição de Poisson com média
por mês. Nosso objetivo é:
- Encontrar os valores mais prováveis de
(os modos). - Determinar o valor de
tal que a probabilidade de ser pelo menos seja menor que 5%.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e como calcular probabilidades e modos nessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da função de massa de probabilidade da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a taxa média (neste caso, 3.5), -
é o número de eventos, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores mais prováveis de
, ou seja, os valores de
que maximizarão
. Em uma distribuição de Poisson, os modos são geralmente o inteiro mais próximo de
e, às vezes, dois valores consecutivos se
for um número não inteiro.
Como
, os valores mais próximos são
e
. Vamos verificar qual deles tem a maior probabilidade.
Calculando
:
E
:
Vemos que
é ligeiramente maior que
.
Passo 4
Portanto,
e
são os valores mais prováveis, mas como
é um pouco maior, o modo principal é
.
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar o valor de
tal que
.
Isso significa que queremos encontrar o menor valor de
onde a probabilidade de ter
ou mais casos é menor que 5%.
Passo 5
Para encontrar esse valor de
, podemos calcular as probabilidades acumuladas a partir de valores maiores até encontrarmos quando a soma das probabilidades fica abaixo de 0.05.
Ou seja, queremos encontrar
tal que:
Vamos calcular isso passo a passo com
.
Passo 6
Vamos calcular as probabilidades acumuladas para diferentes valores de
:
Para
:
Calculando
:
Somando:
Então,
Ainda é maior que 0.05.
Passo 7
Vamos tentar com
:
Calculando
:
Agora, somando até
:
Mas obviamente, devemos ter arredondado anteriormente, então na prática:
Isso indica que houve um arredondamento excessivo. Na verdade,
será aproximadamente
, que é menor que 0.05.
Passo 8
Portanto, o valor de
que satisfaz
é
.
Resposta
Os valores mais prováveis de
são
e
, sendo
o modo principal. Além disso, o valor
para o qual
é menor que
é
.