4’) Esboce a região R delimitada, simultaneamente, pelas curvas y=-8 x^{2}, y=\frac{-1}{x} e x=1
a) Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta \quad y=1.
b) Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta \quad x=-1.

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada simultaneamente pelas curvas
  • y=-8x^{2},
  • y=-\dfrac{1}{x},
  • x=1.
O que é pedido:
(a) calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=1 (reta horizontal);
(b) calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta x=-1 (reta vertical).
Informações relevantes que vamos precisar (sem ainda fazer contas):
  • Precisaremos dos limites em x da região R (onde as duas curvas se cruzam e até x=1).
  • Para cada rotação temos que escolher um método adequado (discos/aros ou cascas cilíndricas) e escrever a integral definida correspondente.
  • Para obter as distâncias (raios ou alturas) teremos que analisar qual curva é a “mais alta” (maior y) e qual é a “mais baixa” no intervalo relevante.

Passo 2

Encontrar onde as duas curvas se intersectam para determinar o limite esquerdo em x da região. Igualamos as duas expressões de y:
-8x^{2} = -\dfrac{1}{x}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e por x (note que x\neq0):
8x^{3} = 1.
Logo
x^{3}=\dfrac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1}{2}.
O y correspondente é, por exemplo, \;y=-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=-8\cdot\dfrac{1}{4}=-2.
Portanto as abscissas da região vão de x=\dfrac{1}{2} até x=1.

Passo 3

Determinar qual curva fica em cima (maior y) e qual embaixo no intervalo \left[\dfrac{1}{2},1\right].
Calcule a diferença
(-\tfrac{1}{x}) - (-8x^{2}) = 8x^{2}-\tfrac{1}{x} = \dfrac{8x^{3}-1}{x}.
Para x\in\left(\dfrac{1}{2},1\right] temos x>0 e 8x^{3}-1>0 (porque 8\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=1 e para x>\tfrac12 cresce). Portanto 8x^{2}-\dfrac{1}{x}>0, ou seja
-\dfrac{1}{x} > -8x^{2}
no intervalo. Conclusão: para x\in\left[\dfrac{1}{2},1\right] a curva superior (maior y) é y=-\dfrac{1}{x} e a curva inferior é y=-8x^{2}. Isso confirma que a altura vertical da região é
h(x)=\left(-\dfrac{1}{x}\right)-\left(-8x^{2}\right)=8x^{2}-\dfrac{1}{x}.

Passo 4

(a) Rotação em torno da reta y=1 (reta horizontal). Escolha do método: como a rotação é em torno de uma reta horizontal e a região é naturalmente descrita por y em função de x, o método dos discos/aros (washers) com integração em x é direto.
Explicando a ideia (fórmula): ao girar uma faixa vertical de largura dx em torno de y=1 obtém-se uma “fatia” anelar (um aro) cuja área transversal é \pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big), onde R(x) é o raio externo (distância do eixo à curva mais afastada) e r(x) é o raio interno (distância do eixo à curva mais próxima). O volume é
V=\pi\int_{x_1}^{x_2}\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,dx.
Determinar os raios: distância vertical entre a reta y=1 e cada curva.
  • Distância da reta y=1 até a curva inferior y=-8x^{2} (essa é a mais afastada do eixo): R(x)=1-(-8x^{2})=1+8x^{2}.
  • Distância da reta y=1 até a curva superior y=-\dfrac{1}{x} (mais próxima do eixo): r(x)=1-(-\tfrac{1}{x})=1+\tfrac{1}{x}.
Assim a integral para o volume é
V_a=\pi\int_{x=\tfrac{1}{2}}^{1}\Big[\big(1+8x^{2}\big)^{2}-\big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{2}\Big]\,dx.

Passo 5

Calcular a integral do Passo 4 passo a passo.
Expandir os quadrados:
\big(1+8x^{2}\big)^{2}=1+16x^{2}+64x^{4}, \qquad \big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{2}=1+\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}.
Subtraindo:
\big(1+8x^{2}\big)^{2}-\big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{2} =16x^{2}+64x^{4}-\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}.
Logo
V_a=\pi\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\left(16x^{2}+64x^{4}-\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Calcular primitivas termo a termo:
\int 16x^{2}\,dx = \dfrac{16x^{3}}{3},\qquad \int 64x^{4}\,dx = \dfrac{64x^{5}}{5},
\int \left(-\dfrac{2}{x}\right)\,dx = -2\ln x,\qquad \int \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)\,dx = \dfrac{1}{x}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\dfrac{16x^{3}}{3}+\dfrac{64x^{5}}{5}-2\ln x+\dfrac{1}{x}.
Avaliar de x=\tfrac{1}{2} até x=1.
Em x=1:
F(1)=\dfrac{16}{3}+\dfrac{64}{5}-2\ln 1 +1 =\dfrac{16}{3}+\dfrac{64}{5}+1.
Em x=\tfrac{1}{2}:
x^{3}=\tfrac{1}{8},\quad x^{5}=\tfrac{1}{32},\quad \ln\!\tfrac{1}{2}=-\ln 2,\quad \dfrac{1}{x}=2,
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{16}{3}\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{64}{5}\cdot\dfrac{1}{32}-2\ln\!\tfrac{1}{2}+2 =\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+2\ln 2+2.
Juntando frações \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{16}{15}, então
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2+\dfrac{16}{15}+2\ln 2=\dfrac{46}{15}+2\ln 2.
Agora a diferença:
F(1)-F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) =\left(\dfrac{16}{3}+\dfrac{64}{5}+1\right)-\left(\dfrac{46}{15}+2\ln 2\right).
Colocando em denominador 15: \dfrac{16}{3}=\dfrac{80}{15}, \dfrac{64}{5}=\dfrac{192}{15}, 1=\dfrac{15}{15}. Soma = \dfrac{287}{15}.
Subtraindo \dfrac{46}{15} obtemos \dfrac{241}{15}. Portanto
V_a=\pi\left(\dfrac{241}{15}-2\ln 2\right).

Passo 6

(b) Rotação em torno da reta x=-1 (reta vertical). Escolha do método: como o eixo é vertical e a região é naturalmente descrita por funções y em função de x, o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells) é conveniente. Explico a ideia:
Para uma casca obtida por uma faixa vertical de largura dx em abscissa x, o raio da casca (distância do eixo x=-1) é \rho(x)=x-(-1)=x+1. A altura da casca é a altura vertical da região em x, isto é h(x)= (curva superior) - (curva inferior) =8x^{2}-\dfrac{1}{x}. A área lateral de uma casca aproximada é 2\pi\rho(x)\,h(x)\,dx. Assim o volume é
V_b=2\pi\int_{x=\tfrac{1}{2}}^{1}(x+1)\left(8x^{2}-\dfrac{1}{x}\right)\,dx.

Passo 7

Calcular a integral do Passo 6 passo a passo.
Multiplicar e simplificar o integrando:
(x+1)\left(8x^{2}-\dfrac{1}{x}\right) =8x^{3}-1+8x^{2}-\dfrac{1}{x} =8x^{3}+8x^{2}-1-\dfrac{1}{x}.
Então
V_b=2\pi\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\left(8x^{3}+8x^{2}-1-\dfrac{1}{x}\right)\,dx.
Primitivas termo a termo:
\int 8x^{3}\,dx = 2x^{4},\qquad \int 8x^{2}\,dx = \dfrac{8x^{3}}{3},\qquad \int (-1)\,dx = -x,\qquad \int\left(-\dfrac{1}{x}\right)\,dx = -\ln x.
Uma primitiva é
G(x)=2x^{4}+\dfrac{8x^{3}}{3}-x-\ln x.
Avaliar de \tfrac{1}{2} a 1.
Em x=1:
G(1)=2+\dfrac{8}{3}-1-\ln 1 = 1+\dfrac{8}{3}=\dfrac{11}{3}.
Em x=\tfrac{1}{2}:
x^{4}=\tfrac{1}{16},\quad x^{3}=\tfrac{1}{8},\quad -x=-\tfrac{1}{2},\quad -\ln\!\tfrac{1}{2}=\ln 2,
G\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot\tfrac{1}{16}+\dfrac{8}{3}\cdot\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{2}+\ln 2 =\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}+\ln 2.
Somando as frações com denominador 24: \tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{24}, \tfrac{1}{3}=\tfrac{8}{24}, -\tfrac{1}{2}=-\tfrac{12}{24}. Soma = -\tfrac{1}{24}. Então
G\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{24}+\ln 2.
Diferença:
G(1)-G\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{3}-\left(-\dfrac{1}{24}+\ln 2\right) =\dfrac{11}{3}+\dfrac{1}{24}-\ln 2.
Colocando em denom 24: \dfrac{11}{3}=\dfrac{88}{24}, somando \dfrac{1}{24} obtém \dfrac{89}{24}. Portanto antes de multiplicar por 2\pi temos \dfrac{89}{24}-\ln 2. Multiplicando por 2\pi:
V_b=2\pi\left(\dfrac{89}{24}-\ln 2\right).
Podemos simplificar um pouco:
V_b=\pi\left(\dfrac{89}{12}-2\ln 2\right).

Resposta

(a) V=\pi\!\left(\dfrac{241}{15}-2\ln 2\right)
(b) V=\pi\!\left(\dfrac{89}{12}-2\ln 2\right)

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