4’) Esboce a região R delimitada, simultaneamente, pelas curvas
e
a) Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta
.
b) Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta
.
a) Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta
b) Determine o volume do sólido obtido com a rotação desta região, em torno da reta
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada simultaneamente pelas curvas
-
, -
, -
.
O que é pedido:
(a) calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
(reta horizontal);
(b) calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
(reta vertical).
(a) calcular o volume do sólido obtido ao girar
(b) calcular o volume do sólido obtido ao girar
Informações relevantes que vamos precisar (sem ainda fazer contas):
- Precisaremos dos limites em
da região (onde as duas curvas se cruzam e até ). - Para cada rotação temos que escolher um método adequado (discos/aros ou cascas cilíndricas) e escrever a integral definida correspondente.
- Para obter as distâncias (raios ou alturas) teremos que analisar qual curva é a “mais alta” (maior
) e qual é a “mais baixa” no intervalo relevante.
Passo 2
Encontrar onde as duas curvas se intersectam para determinar o limite esquerdo em
da região. Igualamos as duas expressões de
:
Multiplicando ambos os lados por
e por
(note que
):
Logo
O
correspondente é, por exemplo,
Portanto as abscissas da região vão de até
.
Portanto as abscissas da região vão de
Passo 3
Determinar qual curva fica em cima (maior
) e qual embaixo no intervalo
.
Calcule a diferença
Para
temos
e
(porque
e para
cresce). Portanto
, ou seja
no intervalo. Conclusão: para
a curva superior (maior
) é
e a curva inferior é
. Isso confirma que a altura vertical da região é
Passo 4
(a) Rotação em torno da reta
(reta horizontal). Escolha do método: como a rotação é em torno de uma reta horizontal e a região é naturalmente descrita por
em função de
, o método dos discos/aros (washers) com integração em
é direto.
Explicando a ideia (fórmula): ao girar uma faixa vertical de largura
em torno de
obtém-se uma “fatia” anelar (um aro) cuja área transversal é
, onde
é o raio externo (distância do eixo à curva mais afastada) e
é o raio interno (distância do eixo à curva mais próxima). O volume é
Determinar os raios: distância vertical entre a reta
e cada curva.
- Distância da reta
até a curva inferior (essa é a mais afastada do eixo): - Distância da reta
até a curva superior (mais próxima do eixo):
Assim a integral para o volume é
Passo 5
Calcular a integral do Passo 4 passo a passo.
Expandir os quadrados:
Subtraindo:
Logo
Calcular primitivas termo a termo:
Portanto uma primitiva é
Avaliar de
até
.
Em
:
Em
:
Juntando frações
, então
Agora a diferença:
Colocando em denominador
:
,
,
. Soma =
.
Subtraindo obtemos
. Portanto
Subtraindo
Passo 6
(b) Rotação em torno da reta
(reta vertical). Escolha do método: como o eixo é vertical e a região é naturalmente descrita por funções
em função de
, o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells) é conveniente. Explico a ideia:
Para uma casca obtida por uma faixa vertical de largura
em abscissa
, o raio da casca (distância do eixo
) é
. A altura da casca é a altura vertical da região em
, isto é
(curva superior)
(curva inferior)
. A área lateral de uma casca aproximada é
. Assim o volume é
Passo 7
Calcular a integral do Passo 6 passo a passo.
Multiplicar e simplificar o integrando:
Então
Primitivas termo a termo:
Uma primitiva é
Avaliar de
a
.
Em
:
Em
:
Somando as frações com denominador
:
,
,
. Soma =
. Então
Diferença:
Colocando em denom
:
, somando
obtém
. Portanto antes de multiplicar por
temos
. Multiplicando por
:
Podemos simplificar um pouco:
Resposta
(a)
(b)