6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{x}{(x+5)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{(x+5)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \dfrac{x}{(x+5)^{3/2}}.
    O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{(x+5)^{3/2}}, ou seja, calcular a primitiva dessa função.

Passo 2

Escolher o método. Aqui é natural usar substituição porque o denominador tem a expressão x+5 elevada a uma potência, e o numerador é um polinômio em x que pode ser reescrito em termos de x+5. Vamos fazer a substituição
u = x+5.
Explico: a substituição transforma a expressão complicada (x+5)^{3/2} em u^{3/2}, e o numerador x pode ser escrito como u-5, o que simplifica a integral em somas de potências de u.

Passo 3

Aplicando a substituição. Como u=x+5, temos
du = dx.
Também expressamos x em função de u:
x = u-5.
Substituindo na integral,
\int \frac{x}{(x+5)^{3/2}}\,dx = \int \frac{u-5}{u^{3/2}}\,du.
Agora separamos a fração em duas parcelas e usamos propriedades de potências:
\frac{u-5}{u^{3/2}} = \frac{u}{u^{3/2}} - \frac{5}{u^{3/2}} = u^{-1/2} - 5u^{-3/2}.
Portanto a integral fica
\int \left(u^{-1/2} - 5u^{-3/2}\right)\,du.

Passo 4

Integrar termo a termo usando a regra da potência. Lembrete da fórmula: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Aplicando a fórmula aos dois termos:
  • Para a parcela \displaystyle \int u^{-1/2}\,du, temos n=-\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
  • Para a parcela \displaystyle \int -5u^{-3/2}\,du, fatoramos a constante -5 e usamos n=-\tfrac{3}{2}:
\int -5u^{-3/2}\,du = -5\cdot\frac{u^{-3/2+1}}{-3/2+1} = -5\cdot\frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -5\cdot(-2)u^{-1/2} = 10u^{-1/2}.
Somando as duas primitivas,
\int \left(u^{-1/2} - 5u^{-3/2}\right)\,du = 2u^{1/2} + 10u^{-1/2} + C.

Passo 5

Voltar para a variável x. Lembrando que u=x+5, substituímos:
2u^{1/2} + 10u^{-1/2} + C = 2\sqrt{u} + \frac{10}{\sqrt{u}} + C = 2\sqrt{x+5} + \frac{10}{\sqrt{x+5}} + C.
Opcionalmente essa expressão pode ser escrita de forma combinada como
\frac{2(x+10)}{\sqrt{x+5}} + C,
mas ambas estão corretas e equivalentes.

Resposta

2\sqrt{x+5}+\frac{10}{\sqrt{x+5}}+C

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