Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
.
O objetivo é encontrar uma funçãotal que , ou seja, calcular a primitiva dessa função.
Passo 2
Escolher o método. Aqui é natural usar substituição porque o denominador tem a expressão
elevada a uma potência, e o numerador é um polinômio em
que pode ser reescrito em termos de
. Vamos fazer a substituição
Explico: a substituição transforma a expressão complicada
em
, e o numerador
pode ser escrito como
, o que simplifica a integral em somas de potências de
.
Passo 3
Aplicando a substituição. Como
, temos
Também expressamos
em função de
:
Substituindo na integral,
Agora separamos a fração em duas parcelas e usamos propriedades de potências:
Portanto a integral fica
Passo 4
Integrar termo a termo usando a regra da potência. Lembrete da fórmula: para
,
onde
é a constante de integração.
Aplicando a fórmula aos dois termos:
- Para a parcela
, temos . Então
- Para a parcela
, fatoramos a constante e usamos :
Somando as duas primitivas,
Passo 5
Voltar para a variável
. Lembrando que
, substituímos:
Opcionalmente essa expressão pode ser escrita de forma combinada como
mas ambas estão corretas e equivalentes.