( 2 pontos) Quantos números entre 1 e 120 são divisíveis por 2 ou por 3?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros de 1 a 120 que são divisíveis por 2 ou por 3. Isso equivale a calcular o tamanho da união dos conjuntos A=\{n\le120\mid 2\mid n\} e B=\{n\le120\mid 3\mid n\}.
Para isso, usamos o princípio da inclusão-exclusão:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.

Passo 2

Calculamos o número de múltiplos de 2 e o número de múltiplos de 3 até 120:
|A| = \left\lfloor \frac{120}{2}\right\rfloor = 60, \qquad |B| = \left\lfloor \frac{120}{3}\right\rfloor = 40.

Passo 3

Os elementos de A\cap B são múltiplos de \mathrm{mcm}(2,3)=6. Logo,
|A\cap B| = \left\lfloor \frac{120}{6}\right\rfloor = 20.

Passo 4

Aplicando inclusão-exclusão:
|A\cup B| = 60 + 40 - 20 = 80.

Resposta

80

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