Em uma sondagem com um grupo de 100 estudantes sobre a oferta de cursos de língua estrangeira, 40 queria fazer espanhol, 50 queriam fazer mandarim e 30 queriam fazer inglês, sendo que 20 queriam fazer espanhol e mandarim, 15 queriam fazer espanhol e inglês 10 queriam fazer mandarim e inglês, enquanto 5 estudantes queriam fazer os três cursos. Pergunta-se:
(a) (1 ponto) Quantos estudantes se interessaram por um único curso?
(b) (1 ponto) Quantos estudantes não se interessaram por nenhum curso?
(c) (1 ponto) Quantos estudantes se interessaram em pelo menos um dos cursos?

Passo 1

Resumindo o enunciado: de um total de 100 estudantes, \lvert S\rvert=40, \lvert M\rvert=50, \lvert I\rvert=30, \lvert S\cap M\rvert=20, \lvert S\cap I\rvert=15, \lvert M\cap I\rvert=10 e \lvert S\cap M\cap I\rvert=5.
O conteúdo é o princípio da inclusão–exclusão para conjuntos. Vamos calcular:
(a) quem está em exatamente um curso,
(b) quem está em nenhum,
(c) quem está em pelo menos um.

Passo 2

Calcular a cardinalidade da união \lvert S\cup M\cup I\rvert pelo princípio da inclusão–exclusão:
\lvert S\cup M\cup I\rvert = \lvert S\rvert + \lvert M\rvert + \lvert I\rvert - \bigl(\lvert S\cap M\rvert + \lvert S\cap I\rvert + \lvert M\cap I\rvert\bigr) + \lvert S\cap M\cap I\rvert
Substituindo os valores:
\lvert S\cup M\cup I\rvert =40 + 50 + 30 - (20 + 15 + 10) + 5 =120 -45 +5 =80.

Passo 3

Calcular quantos estão em exatamente um curso. Para cada curso, por exemplo somente em S:
\lvert S\setminus(M\cup I)\rvert = \lvert S\rvert - \lvert S\cap M\rvert - \lvert S\cap I\rvert + \lvert S\cap M\cap I\rvert =40 - 20 - 15 + 5 =10.
Analogamente, somente em M 50 -20 -10 +5 =25 e somente em I 30 -15 -10 +5 =10.
Somando as três quantidades:
10 + 25 + 10 = 45.

Passo 4

Do total de 100 estudantes, 80 estão em pelo menos um curso (já calculado em \lvert S\cup M\cup I\rvert).
Logo:
quem não se interessou por nenhum é
100 - 80 = 20.

Resposta

(a) 45
(b) 20
(c) 80

Exercícios relacionados