Encontre uma base para o espaço vetorial gerado pelas matrizes
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ -1 & 4 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -2 & -1 \\\\ 1 & 4 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -4 & -2 \\\\ 3 & -2 \\\\ 9 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de M_{3\times2}(\mathbb{R}) gerado pelas matrizes
M_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&4\\\ 0&2\end{pmatrix}, \quad M_{2}=\begin{pmatrix}-2&-1\\\ 1&4\\\ -1&0\end{pmatrix}, \quad M_{3}=\begin{pmatrix}-4&-2\\\ 3&-2\\\ 9&4\end{pmatrix}.
O conteúdo aplicado será a noção de combinação linear em \mathbb{R}^6 (pois cada matriz 3\times2 pode ser vista como um vetor de dimensão 6) e o teste de independência linear para determinar uma base.

Passo 2

Para usar o teste de independência linear, “achatamos” cada matriz em um vetor de \mathbb{R}^6 ordenando as entradas linha a linha. Assim:
v_{1}=(1,0,\,-1,4,\,0,2),\quad v_{2}=(-2,-1,\,1,4,\,-1,0),\quad v_{3}=(-4,-2,\,3,-2,\,9,4).

Passo 3

Consideramos a combinação linear nula
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}+\gamma\,v_{3}=0\in\mathbb{R}^6
e escrevemos algumas das seis equações que surgem das componentes:
(1) pela 2ª componente: -\beta -2\gamma=0\implies \beta=-2\gamma.
(2) pela 5ª componente: -\beta +9\gamma=0\implies \beta=9\gamma.
Dessas duas obtemos
-2\gamma = 9\gamma \;\Longrightarrow\; 11\gamma=0 \;\Longrightarrow\; \gamma=0,\;\beta=0.
Usando a 6ª componente, 2\alpha+4\gamma=0\implies 2\alpha=0\implies \alpha=0.
Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que \dim\langle M_{1},M_{2},M_{3}\rangle=3 e que os três geradores já são independentes. Logo eles mesmos formam uma base do subespaço.

Resposta

Uma base para o espaço gerado é
\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ -1&4\\\ 0&2\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}-2&-1\\\ 1&4\\\ -1&0\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}-4&-2\\\ 3&-2\\\ 9&4\end{pmatrix} \right\}.

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