[4 pts.] Um corpo rígido é composto por uma esfera homogênea de massa M e raio R. Sobre a esfera são colocadas duas partículas idênticas de massa m, separadas por um ângulo alpha, 0. Determine o tensor de inércia com relação ao centro da esfera, bem como os eixos principais e os momentos principais de inércia.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera homogênea de massa $ M $ e raio $ R $. Sobre essa esfera, colocamos duas partículas idênticas de massa $ m $, que estão separadas por um ângulo $ \alpha $ (onde $ 0 < \alpha \leq \pi $). O que precisamos fazer é determinar o tensor de inércia desse sistema em relação ao centro da esfera, além de identificar os eixos principais e os momentos principais de inércia.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Tensor de Inércia: Uma matriz que descreve como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação.
  2. Massa e Distribuição das Partículas: Como as partículas estão posicionadas na esfera.
  3. Cálculo de Eixos e Momentos Principais: Encontrar as direções onde o tensor de inércia é diagonal e os valores nos quais ele é diagonalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o tensor de inércia para uma esfera homogênea. Para uma esfera de massa $ M $ e raio $ R $, o tensor de inércia em relação ao seu centro é dado por:
M
Isso significa que a esfera tem a mesma inércia em todas as direções, o que faz sentido já que ela é homogênea e simétrica.

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas partículas de massa $ m $ colocadas na superfície da esfera. Cada partícula está a uma distância $ R $ do centro da esfera. O tensor de inércia para uma partícula pontual em relação ao centro é dado por:
m í
Onde:
  • $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade.
  • $ \mathbf{r} $ é o vetor posição da partícula.
  • $ \otimes $ representa o produto tensorial.
Como temos duas partículas, vamos calcular o tensor de inércia total das partículas e somar com o tensor da esfera.

Passo 4

Vamos definir um sistema de coordenadas onde a primeira partícula está no eixo $ x $, ou seja, na posição $ (R, 0, 0) $. A segunda partícula está separada por um ângulo $ \alpha $, então sua posição será:
x
Agora, calculamos o tensor de inércia para cada partícula.
Para a primeira partícula:
(R, 0, 0)
Para a segunda partícula:
alpha

Passo 5

Agora, vamos somar os tensores de inércia das duas partículas:
Ipartículas = I1 + I2 = m R^2 sin^2 alpha & -cos alpha sin alpha & 0 -cos alpha sin alpha & 1 + cos^2 alpha & 0 0 & 0 & 2 í

Passo 6

O próximo passo é somar o tensor de inércia da esfera com o tensor das partículas para obter o tensor de inércia total do sistema:
Itotal = Iesfera + Ipartículas = 25 M R^2 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + m R^2 sin^2 alpha & -cos alpha sin alpha & 0 -cos alpha sin alpha & 1 + cos^2 alpha & 0 0 & 0 & 2 í
Fazendo a soma componente a componente:
Itotal = R^2 25 M + m sin^2 alpha & -m cos alpha sin alpha & 0 -m cos alpha sin alpha & 25 M + m (1 + cos^2 alpha) & 0 0 & 0 & 25 M + 2m

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os eixos principais e os momentos principais de inércia, que são os valores próprios e vetores próprios desse tensor de inércia. Observando o tensor, notamos que ele é simétrico e, como as únicas entradas diferentes estão no plano $ xy $, os eixos principais estarão nesse plano e no eixo $ z $.
Para simplificar, nos concentramos no subbloco $ 2 \times 2 $ referente ao plano $ xy $:
xy
Calculamos os autovalores (momentos principais) resolvendo o determinante:
z
Resolvendo essa equação quadrática para $ \lambda $, encontramos os momentos principais no plano $ xy $. O eixo $ z $ já é um eixo principal com o momento $ \frac{2}{5} M + 2m $.

Resposta

O tensor de inércia do sistema em relação ao centro da esfera é:
Itotal = R^2 25 M + m sin^2 alpha & -m cos alpha sin alpha & 0 - m cos alpha sin alpha & 25 M + m (1 + cos^2 alpha) & 0 0 & 0 & 25 M + 2m
Os eixos principais estão alinhados com o eixo $ z $ e as direções no plano $ xy $ definidas pelos ângulos de separação $ \alpha $. Os momentos principais de inércia são:
  • No eixo $ z $: $ I_{z} = \frac{2}{5} M R^{2} + 2 m R^{2} $
  • Nos eixos no plano $ xy $: Valores obtidos resolvendo a equação característica do subbloco $ xy $ do tensor de inércia.

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