[4 pts.] Uma partícula de massa m e carga elétrica q entra dentro de um solenoide cilíndrico infinito que contém em seu eixo de simetria um fio carregado. A partícula então experimenta um campo eletromagnético dado por B=B0 z e E=E0(rho0 / rho) rho, onde B0, E0 e rho0 são constantes.
(e) Discuta sobre quais condições a partícula realiza movimento circular em torno do eixo de simetria do solenoide, determine o raio da trajetória, e a frequência de pequenas oscilações em torno dessa trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa m e carga q entrando num solenoide infinito que tem um fio carregado no eixo. Nesse ambiente, a partícula sente um campo magnético B=B0 z e um campo elétrico E=E0(rho0 / rho) rho. O que precisamos descobrir é quando essa partícula vai fazer um movimento circular ao redor do eixo do solenoide, qual será o raio desse círculo e qual a frequência das oscilações pequenas ao redor dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que faz a partícula se mover. Ela está sujeita a duas forças principais: a força magnética e a força elétrica. A força magnética é dada por FB = q v times B, onde v é a velocidade da partícula. Já a força elétrica é FE = q E.

Passo 3

Para que a partícula faça um movimento circular estável ao redor do eixo, as forças centrípeta e efetiva devem estar equilibradas. A força centrípeta necessária para o movimento circular é Fc = m v^2r, onde v é a velocidade tangencial e r é o raio da trajetória.

Passo 4

A força magnética fornece a força centrípeta. Vamos calcular a componente da força magnética que aponta para o centro do círculo. Considerando que a velocidade é perpendicular ao campo magnético, temos:
FB = q v B0
Igualando à força centrípeta:
m v^2r = q v B0

Passo 5

Simplificando a equação, podemos resolver para o raio r:
m vr = q B0
Então:
r = m vq B0

Passo 6

Agora, para encontrar a frequência do movimento circular, lembramos que a frequência omega está relacionada à velocidade e ao raio por:
omega = vr
Substituindo r da equação anterior:
omega = vm vq B0 = q B0m

Passo 7

Além disso, precisamos considerar as oscilações devido ao campo elétrico. O campo elétrico provoca uma força radial que pode causar oscilações pequenas em torno da trajetória circular. A frequência dessas oscilações também está relacionada à força restauradora proporcionada pelo campo elétrico.

Passo 8

Analisando as oscilações, percebemos que a frequência das pequenas oscilações em torno da trajetória circular também é omega = q B0m, similar à frequência circular principal.

Resposta

A partícula realiza movimento circular em torno do eixo de simetria do solenoide quando a força magnética fornece a força centrípeta necessária, ocorrendo se a velocidade for perpendicular ao campo magnético. O raio da trajetória é dado por r = m vq B0 e a frequência das pequenas oscilações ao redor dessa trajetória é omega = q B0m.

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