[4 pts.] Uma partícula de massa
e carga elétrica
entra dentro de um solenoide cilíndrico infinito que contém em seu eixo de simetria um fio carregado. A partícula então experimenta um campo eletromagnético dado por
e
, onde
e
são constantes.
(e) Discuta sobre quais condições a partícula realiza movimento circular em torno do eixo de simetria do solenoide, determine o raio da trajetória, e a frequência de pequenas oscilações em torno dessa trajetória.
(e) Discuta sobre quais condições a partícula realiza movimento circular em torno do eixo de simetria do solenoide, determine o raio da trajetória, e a frequência de pequenas oscilações em torno dessa trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
e carga
entrando num solenoide infinito que tem um fio carregado no eixo. Nesse ambiente, a partícula sente um campo magnético
e um campo elétrico
. O que precisamos descobrir é quando essa partícula vai fazer um movimento circular ao redor do eixo do solenoide, qual será o raio desse círculo e qual a frequência das oscilações pequenas ao redor dessa trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que faz a partícula se mover. Ela está sujeita a duas forças principais: a força magnética e a força elétrica. A força magnética é dada por
, onde
é a velocidade da partícula. Já a força elétrica é
.
Passo 3
Para que a partícula faça um movimento circular estável ao redor do eixo, as forças centrípeta e efetiva devem estar equilibradas. A força centrípeta necessária para o movimento circular é
, onde
é a velocidade tangencial e
é o raio da trajetória.
Passo 4
A força magnética fornece a força centrípeta. Vamos calcular a componente da força magnética que aponta para o centro do círculo. Considerando que a velocidade é perpendicular ao campo magnético, temos:
Igualando à força centrípeta:
Passo 5
Simplificando a equação, podemos resolver para o raio
:
Então:
Passo 6
Agora, para encontrar a frequência do movimento circular, lembramos que a frequência
está relacionada à velocidade e ao raio por:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 7
Além disso, precisamos considerar as oscilações devido ao campo elétrico. O campo elétrico provoca uma força radial que pode causar oscilações pequenas em torno da trajetória circular. A frequência dessas oscilações também está relacionada à força restauradora proporcionada pelo campo elétrico.
Passo 8
Analisando as oscilações, percebemos que a frequência das pequenas oscilações em torno da trajetória circular também é
, similar à frequência circular principal.
Resposta
A partícula realiza movimento circular em torno do eixo de simetria do solenoide quando a força magnética fornece a força centrípeta necessária, ocorrendo se a velocidade for perpendicular ao campo magnético. O raio da trajetória é dado por
e a frequência das pequenas oscilações ao redor dessa trajetória é
.