[4 pts.] O torque sobre um corpo rígido simétrico ao longo de um eixo possui apenas componente ao longo deste eixo, dada por tau3= constante. Mostre que omega1^2+omega2^2 é constante, onde omega1 e omega2 são as componentes da velocidade angular ao longo de outros dois eixos principais de inércia. Use este resultado para encontrar omega1=omega1(t) usando que omega3(0)=omega1(0)=0 e omega2(0)=Omega.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um corpo rígido simétrico onde o torque, que é uma força que causa rotação, está apenas ao longo de um eixo específico e é constante, representado por tau3. Precisamos mostrar que a soma dos quadrados das componentes da velocidade angular nos outros dois eixos principais, omega1^2 + omega2^2, é constante. Depois, usando esse resultado, queremos encontrar omega1 em função do tempo t, sabendo que inicialmente omega3(0) = 0, omega1(0) = 0 e omega2(0) = Omega.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, velocidades angulares e propriedades de corpos rígidos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque tau está relacionado à variação do momento angular L pelo seguinte relacionamento:
tau = dLdt
No caso de um corpo rígido, o momento angular L é dado por:
L = I omega
onde I é o tensor de inércia e omega é o vetor de velocidade angular.
Como o corpo é simétrico ao longo do eixo 3, podemos assumir que I1 = I2 = I e I3 pode ser diferente, mas não importa para este exercício.

Passo 3

Dado que o torque está apenas ao longo do eixo 3 e é constante, temos:
tau3 = dL3dt
Como L3 = I3 omega3, substituindo na equação:
tau3 = I3 domega3dt
Como tau3 é constante, podemos integrar para encontrar omega3:
omega3(t) = omega3(0) + tau3I3 t
Sabemos que omega3(0) = 0, então:
omega3(t) = tau3I3 t

Passo 4

Agora, vamos considerar as componentes omega1 e omega2. A equação do movimento para essas componentes, sem torque aplicado, é:
I domega1dt - I omega2 omega3 = 0
I domega2dt - I omega1 omega3 = 0
Essas equações vêm da conservação do momento angular nas direções 1 e 2, já que não há torque nessas direções.

Passo 5

Vamos multiplicar a primeira equação por omega1 e a segunda por omega2:
I omega1 domega1dt = I omega1 omega2 omega3
I omega2 domega2dt = I omega1 omega2 omega3
Subtraindo as duas equações:
I omega1 domega1dt - I omega2 domega2dt = 0
Isso simplifica para:
ddt(omega1^2 + omega2^2) = 0

Passo 6

A derivada de omega1^2 + omega2^2 sendo igual a zero indica que:
omega1^2 + omega2^2 = constante
Assim, mostramos que a soma dos quadrados das componentes omega1 e omega2 é constante ao longo do tempo.

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar omega1(t). Sabemos que:
omega1(0) = 0 e omega2(0) = Omega
E também omega3(0) = 0.
Como omega1^2 + omega2^2 é constante, no tempo inicial temos:
0^2 + Omega^2 = Omega^2
Portanto, para qualquer tempo t:
omega1^2 + omega2^2 = Omega^2

Resposta

A solução para omega1(t) é:
omega1(t) = tau3I3 t

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