[4 pts.] O torque sobre um corpo rígido simétrico ao longo de um eixo possui apenas componente ao longo deste eixo, dada por
constante. Mostre que
é constante, onde
e
são as componentes da velocidade angular ao longo de outros dois eixos principais de inércia. Use este resultado para encontrar
usando que
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um corpo rígido simétrico onde o torque, que é uma força que causa rotação, está apenas ao longo de um eixo específico e é constante, representado por
. Precisamos mostrar que a soma dos quadrados das componentes da velocidade angular nos outros dois eixos principais,
, é constante. Depois, usando esse resultado, queremos encontrar
em função do tempo
, sabendo que inicialmente
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, velocidades angulares e propriedades de corpos rígidos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o torque
está relacionado à variação do momento angular
pelo seguinte relacionamento:
No caso de um corpo rígido, o momento angular
é dado por:
onde
é o tensor de inércia e
é o vetor de velocidade angular.
Como o corpo é simétrico ao longo do eixo 3, podemos assumir que
e
pode ser diferente, mas não importa para este exercício.
Passo 3
Dado que o torque está apenas ao longo do eixo 3 e é constante, temos:
Como
, substituindo na equação:
Como
é constante, podemos integrar para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos considerar as componentes
e
. A equação do movimento para essas componentes, sem torque aplicado, é:
Essas equações vêm da conservação do momento angular nas direções 1 e 2, já que não há torque nessas direções.
Passo 5
Vamos multiplicar a primeira equação por
e a segunda por
:
Subtraindo as duas equações:
Isso simplifica para:
Passo 6
A derivada de
sendo igual a zero indica que:
Assim, mostramos que a soma dos quadrados das componentes
e
é constante ao longo do tempo.
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
. Sabemos que:
E também
.
Como
é constante, no tempo inicial temos:
Portanto, para qualquer tempo
:
Resposta
A solução para
é: