[4 pts.] Uma partícula de massa
e carga elétrica
entra dentro de um solenoide cilíndrico infinito que contém em seu eixo de simetria um fio carregado. A partícula então experimenta um campo eletromagnético dado por
e
, onde
e
são constantes.
© Mostre que a força elétrica, q
, é conservativa, e tem como função potencial
© Mostre que a força elétrica, q
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com carga elétrica $ q $ que entra num solenoide cilíndrico infinito com certos campos elétrico e magnético. Nosso objetivo aqui é mostrar que a força elétrica $ q\vec{E} $ é conservativa e encontrar a função potencial $ U $ que corresponde a essa força. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como encontrar seu potencial.
Passo 2
Primeiro, uma força conservativa é aquela onde o trabalho realizado por ela não depende do caminho percorrido, mas apenas dos pontos inicial e final. Isso significa que existe uma função potencial $ U $ tal que $ \vec{F} = -\nabla U $. Vamos verificar se a força elétrica $ q\vec{E} $ se encaixa nessa definição.
Passo 3
Dado que o campo elétrico é $ \vec{E} = E_{0}\left(\frac{\rho_{0}}{\rho}\right) \hat{\rho} $, podemos escrever a força elétrica como:
Para ser conservativa, devemos conseguir expressar $ \vec{F} $ como o gradiente negativo de uma função potencial $ U $.
Passo 4
Vamos assumir que existe tal função $ U $ e que:
Em coordenadas cilíndricas, o gradiente de $ U $ na direção radial $ \hat{\rho} $ é:
Portanto, temos:
O que simplifica para:
Passo 5
Agora, para encontrar $ U $, vamos integrar essa expressão em relação a $ \rho $:
A integral de $ \frac{1}{\rho} $ é $ \ln \rho $, então:
Onde $ C $ é uma constante de integração. Podemos escolher $ C $ de forma que $ U = 0 $ quando $ \rho = \rho_{0} $, o que dá:
Resposta
A força elétrica é conservativa e sua função potencial é