[4 pts.] Uma partícula de massa m e carga elétrica q entra dentro de um solenoide cilíndrico infinito que contém em seu eixo de simetria um fio carregado. A partícula então experimenta um campo eletromagnético dado por B=B0 z e E=E0(rho0 / rho) rho, onde B0, E0 e rho0 são constantes.
© Mostre que a força elétrica, q E, é conservativa, e tem como função potencial
U=-q E0 rho0 ln rhorho0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com carga elétrica $ q $ que entra num solenoide cilíndrico infinito com certos campos elétrico e magnético. Nosso objetivo aqui é mostrar que a força elétrica $ q\vec{E} $ é conservativa e encontrar a função potencial $ U $ que corresponde a essa força. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como encontrar seu potencial.

Passo 2

Primeiro, uma força conservativa é aquela onde o trabalho realizado por ela não depende do caminho percorrido, mas apenas dos pontos inicial e final. Isso significa que existe uma função potencial $ U $ tal que $ \vec{F} = -\nabla U $. Vamos verificar se a força elétrica $ q\vec{E} $ se encaixa nessa definição.

Passo 3

Dado que o campo elétrico é $ \vec{E} = E_{0}\left(\frac{\rho_{0}}{\rho}\right) \hat{\rho} $, podemos escrever a força elétrica como:
E = E0(rho0rho) rho
Para ser conservativa, devemos conseguir expressar $ \vec{F} $ como o gradiente negativo de uma função potencial $ U $.

Passo 4

Vamos assumir que existe tal função $ U $ e que:
U
Em coordenadas cilíndricas, o gradiente de $ U $ na direção radial $ \hat{\rho} $ é:
F = -nabla U
Portanto, temos:
U
O que simplifica para:
rho

Passo 5

Agora, para encontrar $ U $, vamos integrar essa expressão em relação a $ \rho $:
U
A integral de $ \frac{1}{\rho} $ é $ \ln \rho $, então:
rho
Onde $ C $ é uma constante de integração. Podemos escolher $ C $ de forma que $ U = 0 $ quando $ \rho = \rho_{0} $, o que dá:
U = -q E0 rho0 integral 1rho drho

Resposta

A força elétrica é conservativa e sua função potencial é
U = -q E0 rho0 ln rhorho0

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